МАТАН (шпоры)

8.Линейная зависимость и линейная независимость векторов.

Векторы назыв.коллинеарными,если лежат на | |

прямых или на одной прямой.

Векторы назыв.компланарными,если они лежат на | | плоскостях или на одной плоскости.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору. Нулевой вектор считается компланарным любой паре векторов. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такой набор коэффициентов

из которых хотя бы один отличен от нуля, т.е.

Вектор an назыв.линейн.комбинацией векторов ,векторного пространства R,если он равен сумме произведений этих векторов на произвольн.числа.

Система векторов называется линейно независимой,если равенство ,возможно только при

.

Критерий. Для линейной зависимости векторов , необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.

Св-ва: 1.Если среди векторов имеется нулевой вектор,то эти векторы линейно независимы.

2.Если часть векторов являются линейно зависимыми,то все эти векторы-линейно зависимые.

1.Один вектор линейно независим тогда и только тогда, когда он ненулевой. 2.Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны.3.Три вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они некомпланарны.

9.Определение базиса и размерности линейн.пространства.

Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка линейно независимых векторов.

n-мерным пространством назыв.упорядоченная совокупность n действительных чисел,записываемых в виде X=(X1,X2...Xn),где

Xi-i-я компонента вектора X.

1.x+y=y+x-коммутативное св-во суммы

2.(x+y)+z=x+(y+z)-ассоциативное(сочетательное)

3. ассоциативное относительно числового множителя св-во

4. дистрибутивное(распределит.)

относительно суммы векторов св-во

5. дистрибутивное относит.суммы

числовых множителей св-во

6.Существует нулевой вектор 0=(0,0,…0) такой, что х+0=х для любого вектора х

7. Для любого вектора х существует противопол.

Вектор(-х) такой,что х+(-х)=0

8.1*х=х для любого вектора х(особая роль числового множителя 1).

Множество векторов с действительн.компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее 8 св-ам,назыв.векторным пространством.

Линейное пространство R назыв.n-мерным,если в

нём существует n линейно независимых векторов,

а любые из (n+1)векторов уже явл.зависимыми.

9.Определение базиса и размерности линейн.пространства.

Размерность пространства-это максим.число содержащихся в нём линейно независимых векторов. Число n назыв.размерностью пространства R и обозначается dim(R). Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R назыв.базисом.Скалярным произведением двух векторов X=(X1,X2,...Xn) и Y=(Y1,Y2,...Yn)называется число (X,Y)=X1Y1+X2Y2+...+XnYn=

Св-ва скалярного произведения:

1.(x,y)=(y,x)-коммутативное св-во

2.(x,y+z)=(y,x)+(x,z)- дистрибутивное

3.

4.(x,x)>0,если х-ненулев.вектор;(х,х)=0,если х-нулевой вектор.

Линейное(векторное)пространство,в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетв.4ем св-ам,назыв.евклидовым пространством.Длиной(нормой)вектора х в евклид.пространстве назыв.корень квадратный из его скалярного квадрата:|x|=…

Св-ва:1.|x|=0 тогда и т.т.,к. х=0 2.

3.|(x,y)| |x||y| 4.|x+y| |x|+|y| (неравенство тр-ка).

Два вектора называются ортогональным,если их скалярное произведение равно нулю.

Векторы l1,l2,...ln n-мерного евклид.пространства

Образуют ортонормированный базис,если эти векторы попарно ортоганальны и норма каждого из них равна единицы,т.е.если (li,lj)=0 при i j и |li|=1 при i=1,2,...n.

9.Определение базиса и размерности линейн.пространства. Пусть дан базис , тогда любой вектор в пространстве может быть представлен, и притом единственным образом, в виде , где - некоторые числа. Совместим начала всех векторов и в точке O и проведем через конец вектора плоскость, параллельную плоскости .

Построим новые векторы и так, чтобы , а и были коллинеарны, тогда, в силу коллинеарности вектора вектору , . Перенеся начало вектора в точку O и рассуждая как при доказательстве теоремы 1.4.3., получим и, следовательно, , что и доказывает существование разложения.

9.Определение базиса и размерности линейн.пространства.

Числа - коэффициенты в разложении _, называются координатами (или компонентами) вектора в базисе. Для записи вектора в координатном представлении используются формы:

1. 2. 3.

В общем случае утверждение "вектор в базисе имеет координатное представление " записывается как .

О

10.Определение базисного минора матрицы. Лемма.Ранг.Вычисление ранга.

Матрицей размера mxn называется упорядоченная прямоугольная таблица (или массив) чисел, содержащая m строк и n столбцов. Минором Mij элемента aij матрицы n-го порядка назыв.определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максим. порядка.Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю.Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Теорема о базисном миноре.В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор. Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

Если , то матрица называется квадратной, порядка n .

Рангом матрицы А назыв.наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы А обознач.rang A или r(A).1)ранг матрицы Аm*n не превосходит меньшего из её размеров, т.е.

r(A) min(m,n).2)r(A)=0тогда,кога все элементы матрицы равны нулю,т.е. A=0. 3)для квадратной

10.Определение базисного минора матрицы. Лемма.Ранг.Вычисление ранга.

матрицы n-го порядка r(A)=n тогда и т.т.к. матрица А-невырожденная.Невырожденная матрица ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля

Элементарные преобразование матрицы:

1.Отбрасывание нулевой строки(столбца)

2.Умножение всех элементов строки(столбца) матрицы на число,не равное нулю.

3.Изменение порядка строк(столбцов) матрицы

4.Прибавление к каждому элементу одной строки

(столбца) соответствующих элементов другой строки(столбца),умноженных на любое число.

5.Транспонирование матрицы.

Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Рангматрицы-кол-во ненулевых строк ступенчатой матрицы,которые получаются из исходной с помощью элементарных преобразований.

11. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).Координатная и матричная формы записи.Равносильность СЛАУ.

Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного. Матрица называется основной матрицей системы, а матрица - расширенной матрицей этой системы.

11. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).Координатная и матричная формы записи.Равносильность СЛАУ.

Однородная система уравнений

всегда является совместной. Для этой системы набор чисел Х1=0,Х2=0…Хn=0 является решением. Рассмотрим неоднородную систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x1 , x2 , ..., xn:

В отличие от однородной системы, эта система совместна не всегда.

Справедливо утверждение (теорема Кронекера-Капелли).

Для того, чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы. Исследовать неоднородную систему — это значит установить, является ли она совместной, и если является — найти выражение для общего решения системы.

Две системы равносильны (или эквивалентны), если у них одно и то же множество решений: любое решение первой системы является решением второй и любое решение второй является решением первой.

12.Теорема Кринекера-Капелли о совместности СЛАУ.Решение СЛАУ с помощью обратной матрицы.Крамер.Гаусс.Критерий определен.слау

Теорема Кронекера-Капелли: Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда.когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. RgA = RgA^*.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x₁ + x₂ + … + x_n

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА^* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.базисн.минор(билет10).

Для совместных систем линейных ур-ий равны следующие теоремы:1.Если ранг матрицы совместн.системы равен числу переменных,т.е. r=n, то система имеет единственное решение.

2.Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных,т.е. r<n,то система

12.Теорема Кронекера-Капелли о совместности СЛАУ.Решение СЛАУ с помощью обратной матрицы.Крамер.Гаусс.Критерий определен.слау

неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

R<m ур-ия r(A)=r(A1) r<n Сис-ма

Системы Сис-ма неопредел.

Зависимые несовместная (множ.реш.)

Система m

Линейных

Уравнений с n

Пременными

R=m ур-ия r(A)=r(A1)=r r=n Сис-ма

Системы Сис-ма определенная

независим. Совместная ( 1 решение)

Решение СЛАУ с помощью обратной матрицы.

Для получения системы при m=n в общем виде предположи,что квадратн.матрица системы An*m невырожденная,т.е.её определитьель |A|=0.В этом случае существ.обратная матрица. Умножая слева обе части матричного равенства на матрицу обратную,получим …

Теорема Крамера.Пусть -определитель матрицы системы А,а j-определитель матрицы,получаемый из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда,если =0 ,то система имеет единственное решение,определяемое по формулам:Xj= j / , (j=1,2…n)

Метод Гаусса.-метод последовательных исключений переменных-с помощью элементарных преобразований система ур-ий приводится к равносильной системе. Ступенчатого(ии тр-го вида)

После отбрасывания «лишних»ур-ий возможны два случая:а)число ур-ий системы равно числу переменных т.е.r=n(тр-ый вид)б)r<n(ступенчат.вид)

13.Решение однородных СЛАУ.Критерий существования ненулевого решения. Фундаментальная система. Система m линейных ур-ий с n переменными назыв.системой линейных однородных ур-ий,если все их свободные члены равны нулю.Имеет вид:

Всегда является совместной.Решение однородн.СЛАУ обладают следующ.св-ами:

1.Если строка l1=(k1,k2,...kn)-решение системы,то и строка …. -также решение этой системы.2.Если строка l1=(k1,k2,...kn) и l2=(l1,l2,...ln)-решения системы,то при любых c1 и c2 их линейная комб-ия c1,l1+c2,l2=(c1k1+c2l1,c1k2+c2l2+...c1kn+c2ln)

также решение данной системы.

Критерийненулевого решения однор.СЛАУ:

Система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда,когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных,т.е. при r(A)<n

Система линейно независимых решений l1,l2,...lk назыв.фундаментальной,если каждое решение системы является линейной комбинацией решений l1,l2,...lk.

Если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных ур-ий меньше числа переменных n,то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений. Поэтому общее решение системы линейных однородных ур-ий имет вид:

c1,l1+c2,l2…+сklk,где l1,l2,...lk-любая фундаментальная система решений, с1,с2…сk-произвольные числа и k=n-r.

14.Декартова прямоуг.система координат.Линейные операции над векторами.Вычисление длины вектора.

Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

1-я OX – ось абсцисс 2-я OY – ось ординат

3-я OZ – ось аппликат. Базис-множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), при этом ни один из базисных векторов не представим в виде конечной линейной комбинации остальных (линейная независимость). Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат. 1.Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна сумме их проекции на эту же ось…

2.При умножении вектора на число проекция умножается на это же число…

Векторы назыв.коллинеарными,если лежат на | |

прямых или на одной прямой.Признаком коллинеарности 2-х векторов является пропорциональность их координат.

Х1 =Y1 =Z1

Х2 Y2 Z2

Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то = (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁). Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то .

14.Декартова прямоуг.система координат.Линейные операции над векторами.Вычисление длины вектора.

Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении /, то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

x = (x₁ + x₂)/2; y = (y₁ + y₂)/2; z = (z₁ + z₂)/2.

Приложение.Пример. Даны векторы(1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

линейно независимы.

Тогда .Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

=4 =0

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

Итого, координаты вектора в базисе , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.

22.Кривые второго порядка на плоскости:эллипс, гипербола,парабола. Определения,вывод их канонических ур-ий.Фокусы,эксцентриситет,директр.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0. Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

- уравнение эллипса. - уравнение гиперболы

a²x² – c²y² = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

y² = 2px – уравнение параболы.

y² – a² = 0 – уравнение двух параллельных прямых

y² + a² = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

y² = 0 – пара совпадающих прямых.

(x – a)² + (y – b)² = R² – уравнение окружности.

Эллипсом назыв.геометрическое место точек,для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина,большая,чем рассточние между фокусами. Гиперболой назыв. геометрическое место точек,для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина.Параболой назыв.геометрическое место точек,для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом,равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой,называемой директрисой.

22.Кривые второго порядка на плоскости:эллипс, гипербола,парабола.

Эллипс.

F₁, F₂ – фокусы.

F₁ = (c; 0); F₂(-c; 0)

с – половина

расстояния между фокусами;

a – большая полуось,называемая эксцентриситетом эллип

b – малая полуось. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:a² = b² + c².

В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r₁ + r₂ = 2(по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r₁ + r₂ = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r₁ + r₂ – постоянная величина, то , приравнивая, получаем: a² = b² + c²

r₁ + r₂ = 2a. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом. Е = с/a. Т.к. с < a, то е < 1.

Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса. Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k² = 1 – e². Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.Если для точки М(х₁, у₁) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

22.Кривые второго порядка на плоскости:эллипс, гипербола,парабола. r₁ = a – ex, r₂ = a + ex

Выше было показано, что r₁ + r₂ = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Аналогично доказывается, что r₂ = a + ex. Эллипс определен ур-ем и a>b,то прямые x = a/e; x = -a/e

называются директрисами эл. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

Гипербола. По опреде-

лениюr₁ – r₂=2a.

F₁, F₂ – фокусы гиперболы.

F₁F₂=2c.Выберем на

гиперболе произвольную

точку М(х, у). Тогда:

22.Кривые второго порядка на плоскости:эллипс, гипербола,парабола.

обозначим с² – а² = b² (геометрически эта величина – меньшая полуось) Получили каноническое уравнение гиперболы

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Асимптота кривой γ, имеющей бесконечную ветвь — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки γ кривой до этой прямой стремится к нулю при движении её вдоль ветви к бесконечности.

Отношениеназывается эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.С учетом того, что с² – а² = b²:

Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней),её каДве прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: . Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

22.Кривые второго порядка на плоскости:эллипс, гипербола,парабола. Парабола.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой. Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2; MF² = y² + (x – p/2)²

(x + p/2)² = y² + (x – p/2)²

x² +xp + p²/4 = y² + x² – xp + p²/4

y² = 2px-каноническое ур-ие параболы

Уравнение директрисы: x = -p/2.

23.Общие ур-ие кривых второго порядка на плоскости. Инварианты кривых второго порядка на плоскости.Классификация и виды каноническихь ур-ий(9)кривых второго порядка.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1) - уравнение эллипса.

2) - уравнение “мнимого” эллипса.

3) - уравнение гиперболы.

4)a²x² – c²y² = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых. 5)y² = 2px – уравнение параболы.

6)y² – a² = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

7)y² + a² = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых. 8)y² = 0 – пара совпадающих прямых.

9)(x – a)² + (y – b)² = R² – уравнение окружности.

Линия,которая в некоторой декартовой системе координат определяется ур-ем второй степени, назыв.линией второго порядка.

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов

отличен от нуля. Иначе говоря

. Вид кривой зависит от 4 инвариантов: инварианты относительно поворота и сдвига системы координат

23.Общие ур-ие кривых второго порядка на плоскости.

1. 2.

3.

инвариант относительно поворота системы координат

4.

Классификация кривых второго порядка.

Невырожденные кривые. Кривая второго порядка называется «невырожденной», если

Могут возникать следующие варианты:

Эллипс — при условии D>0 и I <0

Окружность (частный случай эллипса) — при условии

,

Мнимый Эллипс (пустое множество) — при условии

D=0 и I >0

Гипербола — при условии D<0

Парабола — при условии D=0

Вырожденные кривые. Кривая второго порядка называется «вырожденной», если =0

Точка— при условии D>0 (вырожденный эллипс)

Пара пересекающихся прямых— при условии D<0

Пара параллельных прямых— при условииD=0 и B<0

Прямая (две слившихся параллельных прямых) — при условии D=0 и B=0

Пара мнимых параллельных прямых— при условии

D=0 и B>0

24.Поверхности второго порядка.Эллипсоиды,гиперболоиды,Параболоиды, цилиндры,конусы.Канонич.ур-я.Инварианты.

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлет-ют уравнению вида a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z +a44= 0

в котором по крайней мере один из коэффициентов a11, a22, a33, a12, a23, a13 отличен от нуля. Эллипсо́ид – поверхность,которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется ур-ем каноническое ур-е эллипсоида.

Велечины a,b,c суть полуоси эллипсоида.Если a=b-ось вращения будет Oz,если a=b<c эл-д назыв.вытянутым.

При a=b>c-сжатым.Если a=b=c,эл-д-сфера.

Гиперболоид назыв.поверхности,которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определ.ур-ми:

(однополостный гиперболоид)

(двухполостный гиперболоид).

Параболо́идами назыв.поверхности,которые в некоторой системе декартов.координат определ.ур-ями.

-эллиптический параболоид.

,где p,q-положит.числа назыв.параметрами параболоида.

-гиперболический параболоид. Оба ур-я назыв.каноническими ур-ями параболоидов.

Конической поверхностью или конусом назыв.поверхность,которая описывает движущейся прямой(образующей) при условии,что эта прямая проходит через постоянную точку s и пересекает некоторую определенную линию L.Точка S назыв.вершиной конуса,линия L-направляющей.

24.Поверхности второго порядка.Эллипсоиды,гиперболоиды,Параболоиды, цилиндры,конусы.Канонич.ур-я.Инварианты.

-конусы

-мнимые конусы

Цилиндрической поверхностью,или цилиндром,назыв. поверхность,которая описывается движущейся прямой (образующей)при условии,что эта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определенную линию L (направляюшую).

-эллиптические цилиндры

-мнимые эллиптические цилиндры

-гиперболические цилиндры

-параболические цилиндры

Поверхности второго порядка, поверхности, декартовы прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0(*)

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Поверхности второго порядка В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного

24.Поверхности второго порядка…

переноса и поворота системы координат к одному из 17 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс Поверхности второго порядка Среди них выделяют пять основных типов поверхностей. Именно,

1) эллипсоиды

— эллипсоиды,

— мнимые эллипсоиды

2) гиперболоиды:

— однополостные гиперболоиды

— двуполостные гиперболоиды

3) параболоиды (p > 0, q > 0):

— эллиптические параболоиды,

— гиперболические параболоиды;

4) конусы второго порядка:

— конусы

— мнимые конусы;

24.Поверхности второго порядка…

5) цилиндры второго порядка:

— эллиптические цилиндры,

— мнимые эллиптические цилиндры,

— гиперболические цилиндры,

— параболические цилиндры.

Перечисленные Поверхности второго порядка относятся к т. н. нераспадающимся Поверхности второго порядка; распадающиеся Поверхности второго порядка:

— пары пересекающихся плоскостей,

— пары мнимых пересекающихся плоскостей

х2 = а2 — пары параллельных плоскостей,

х2 = —а2 — пары мнимых параллельных плоскостей,

х2 = 0 — пары совпадающих плоскостей.

Для Поверхности второго порядка установлена аффинная и проективная классификация. Две Поверхности второго порядка считают принадлежащими одному аффинному классу, если они могут быть переведены друг в друга некоторым аффинным преобразованием (аналогично определяются проективные классы Поверхности второго порядка). Каждому аффинному классу соответствует один из 17 канонических видов уравнения Поверхности второго порядка Проективные преобразования позволяют установить связь между различными аффинными классами Поверхности второго порядка Это объясняется тем, что при этих преобразованиях исчезает особая роль бесконечно удалённых элементов пространства. Например, эллипсоиды и двуполостные гиперболоиды, различные с аффинной точки зрения, принадлежат одному проективному классу Поверхности второго порядка.

25.Линейные операторы в линейном пространстве. Матрица линейного оператора.

Если задан закон(правило), по которому каждому вектору х пространства Rn ставится в соответствие единственный ветор y пространства Rm,то говорят,что задан оператор (преобразование, отображение) (x),действующий из Rn в Rm и записывают y=(x). Оператор(преобразование) назыв.линейным,если для любых векторов x и y пространства Rn и любого числа лямбда выполняются соотношения:

1.(x+y)= (x)+ (y)-св-во аддитивности оператора.

2. (лямбда x)=лямбда(x)-св-во однородности оператора.

Вектор y=(x). назыв.образом вектора x,а сам вектор x-прообразом вектора y.

Если пространства Rn и Rm совпадают, то оператор A

отображает пространство Rn в себя.

Матрица А=(aij) (i,j=1,2,...n) назыв.матрицей оператора

в базисе l1,l2,...ln,а ранг r матрицы A-рангом оператора

. Каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе.Справедливо и обратное: всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.

Действия над линейными операторами:

Суммой двух линейных операторов и B называется оператор (+B),определяемый равенством:

(А+В)(х)=А(х)+В(х). Произведен.линейн.оператора А на число лямбда назыв.оператор лямбдаА,определ. равенством : (лямбдаА)(х)=лямбда(А(х)). Произведением лин.операт-ов А и В назыв.оператор АВ

определ-ый равенством (АВ)(х)=А(В(х)).

26.Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. Изменение координат вектора при изменении базиса

Пусть в n-мерном линейном пространстве L выбран базис l1,l2,...ln который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис который мы будем называть "новый". Возьмем призвольный вектор a из L Его координатный столбец в старом базисе обозначим а в новом

Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому. Матрица перехода всегда невырождена, то есть Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой

26.Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

где справа стоит произведение матрицы перехода S на матрицу-столбец.

Матрица А и А`линейного оператора в базисах l1,l2,...ln и связанны соотношением

А`=С(«в –1степени»)АС,где С-матрица перехода от старого базиса к новому.

При воздействии линейного оператора вектор х пространства Rn переводится в вектор у этого пространства,т.е.справедливы равенство У=АХ (в старом базисе) и равенство У`=А`Х(в новом базисе) Т.к.С-матрица перехода от старого базиса к новому,то в соответствии с А`=С(«в –1степени»)АС, Х=СХ`(1), У=СУ` (2). Умножим (1)слева на матрицу А,получим АХ=АСХ` или с учётом (У=АХ), У=АСХ`.Заменяя

Левую часть полученного выражения в соответствии с (2), имеем: СУ`=АСХ` или У`=C(«в –1степени»)АСX`

27.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора.

Вектор х=0 назыв.собственным вектором линейного оператора ,если найдется такое число лямбда,что

(х)=лямбда х. Число лямбда называется собственным значением оператора (матрицы А) соответствующим вектору х.

Собственный вектор под действием оператора переходит в вектор,коллинеарный самому себе,т.е. просто умножается на некоторое число.В то же время несобственные векторы преобразуются более сложным образом.

Определитель |A - лямбдаЕ| является многочленом n-й степени относительно лямбды.Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы А, а урав-ие

|A - лямбдаЕ|=

-характеристическим ур-ием оператора или матрицы

А. Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Матрица оператора в базисе,состоящем из его собственных векторов,является диагональной. Верно и обратное: если матрица А линейного оператора в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса-собственные векторы оператора .

Если оператор имеет n попарно различных собственных значений,то отвечающие им собственные векторы линейно независимы , и матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.

№1. Матрицы, виды, действия с ними. Задачи.

Матрицей размера mn назыв прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа составляющие матрицу назыв элементами матрицы. Их обозначают a_ij, где i-номер строки, а j-номер столбца. Виды матриц: Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца-матрицей(вектором)-столбцом. А=(а₁₁а₁₂,..,а_1n)-матрица-строка; В=b₁₁ матрица-столбец.

Матрица называется квадратной b₂₁ n-го порядка,если число ее строк равно числу столб … и равно n. Элементы матрицы a_ij, у которых b_m1 номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы а_11,а_22,..а_nn. Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю,то матрица

называется диагональной. Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквой Е. Произведение матрицы А на число λ называется матрица В= λА, элементы которой b_ij=λ a_ij для i=1.2....m; j=1.2…n. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Суммой двух матриц А и В одинакового размера mхn называется матрица С=А+В, элементы которой с_ij= a_ij+ b_ij для i=1.2....m, j=1.2…n(т.е матрицы складываются поэлементно). Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А-В=А+(-1) В. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Произведением матриц А _mхk х B _kхn называется такая матрица С _mхn, каждый элемент которо

№1. Матрицы, виды, действия с ними. Задачи.

с_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В: с_{i j =} a_{i 1}b_{1 j}+ a_{i 2} b_{2 j}+ a_{i k} b _k j, i=1.2....m, j=1.2…n. Свойства: 1)А+В=В+А 2)(А+В)+С=А+(В+С) 3) λ(А+В)= λА+ λВ 4)А(В+С)=АВ+АС 5)(А+В)С=АС+ВС 6) λ(АВ)=( λА)В=А(λВ) 7)А(ВС)=(АВ)С Целой положительной степенью А^m (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А. Транспонирование матрицы-переход от матрицы А к матрицы А’ или А^т, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Свойства: 1)(А’)’=А 2)( λА)’=λ А’ 3)(А+В)’ = А’+В’ 4)(АВ)’= В’ А’ Задача:

Найти произведение матриц А = и В = . АВ =  = .

№2.Определители квадратных матриц. Св-ва опр. Миноры и алгеб дополнения. Методы вычисления опр. Элемент а₁₁ называется опред-ем 1-го порядка. Опр 2-го порядка назыв число, которое вычисляется по формуле: а₁₁а₂₂- а₁₂ а_21. Опр 3-го порядка назыв число, которое вычисляется по формуле: а₁₁ а₂₂ а₃₃+ а₁₂ а₂₃ а₃₁+ а₂₁ а₃₂ а₁₃- а₃₁ а₂₂ а₁₃- а₁₂ а₂₁ а₃₃- а₃₂ а₂₃ а_11. Опр квадратной матрицы n-го порядка, назыв число, равное алгебр-ой сумме n членов, каждый из которых явл произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена опред-ется как (-1)^r(j) , где r(j)-число инверсий в перестановке j из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания: (инверсия в перестановке j это наличие пары чисел, в которой большее число предшествует меньшему).

׀А׀=׀ а₁₁ а_12… а_1n׀=∑_j(-1) ^r(j) а_1j1 х а_2j2 х .. а_nj_n. Минором М_{i j} ׀ а₂₁ а_22… а_2n׀ элемента а_ij матрицы n-го порядка назы׀ а_n1 а_n2… а_nn׀ определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением А_{i j} элемента а_ij матрицы n-го порядка назыв его минор, взятый со знаком (-1) ^i+j . Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки(столбца) на их алгебраические дополнения: ׀А׀= а_i1А _i1+ а_i2А _i2+ а_in А _in (разложение по элементам i-й строки; i=1.2.... n. Свойства опред: 1)Если какая-либо строка(столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0. 2)Если все элементы какой-либо строки(столбца) матрицы умножить на число λ, то ее опред умножится на это число λ. 3)При транспонирова- нии матрицы ее опред не изменяется:׀А’׀= ׀А׀.