МАТАН

12. Определение предела функции при произвольном стремлении аргумента, односторонние пределы. Геометрическая иллюстрация для различных типов стремления.

Y=f(x) определена в некоторой окрестности точки а.

Функция f(x) стремится к числу А (к пределу А): f(x) →А при х→а, если для любого ε>0 существует δ = δ (ε)>0 такое, что для любого х: 0<|x-a|< δ => выполняется неравенство |f(x)-A|< ε.

Число A называется пределом функции f(x), если для любого ε>0 существует δ = δ (ε)>0, что для любого х: 0<x-a< δ => |f(x)-A|< ε

Число A называется пределом функции f(x), если для любого ε>0 существует δ = δ (ε)>0: для любого х< - δ => |f(x)-A|< ε.

Lim f(x) = +∞, если для любого ε>0 существует δ = δ (ε)>0, что для любого х: 0<|x-a|< δ выполняется неравенство f(x)> ε.

Lim f(x) = +∞, если для любого ε>0 существует δ = δ (ε)>0, что для любого х: x< - δ выполняется неравенство f(x)> ε.

Lim f(x) при х→а/ х→а+/ х→а-/ х→∞/ х→+∞/ х→- ∞

7. Основные свойства пределов последовательностей (предел постоянной величины, единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности).

Предел постоянной величины: a_n=с=const => limc=c.

Доказательство: Число с является пределом последовательности {a_n}, если для любого ε>0, существует n₀= n₀(ε ): для любого n>n₀ выполняется неравенство |a_n - a|< ε. В нашем случае a_n=с => неравенство имеет вид |c-c|=0<ε.

Теорема о единственности предела. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Любая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {a_n} – сходящаяся последовательность, т.е lim a_n = a  любого ε>0, существует n₀= n₀(ε ): для любого n>n₀ выполняется равенство |a_n - a|<ε, - ε< a_n – a< ε => a-ε< a_n <a+ε

3. Множество рациональных чисел, множество иррациональных чисел, доказательство иррациональности числа.

Целые числа, дробные числа положительные и отрицательные называются множеством рациональных чисел (Q): Q={p/q; p, q Є Z; q≠0}

Числа, которые представляются бесконечными, но не периодическими десятичными дробями, называются иррациональные числа, т.е. их нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

√2 – иррациональное число.

Доказательство «от противного»: предположим, что √2 является рациональным числом, т.е. √2=p/q- несократимая дробь. Возводим в квадрат: 2= p²/q² => 2q²= p². 2q² – четное число => p² – четное число => p – четное число. Пусть p=2m => 2q²=(2m)² => 2q²= 4m² => q²= 2m² – четное число => q² – четное число => q- четное число. Пусть q=2l => √2=p/q=2m/2l – эту дробь можно сократить. Из-за того, что мы предположили, что √2 – рациональное число, возникло противоречие, т.к. p/q – несократимая дробь. Следовательно, √2 – иррациональное число.

1. Алгебраическая форма записи комплексного числа, действия с комплексными числами в алгебраической форме.

Комплексным числом называется выражение Z=X+iY, где X, Y Є R, i – мнимая единица.

i² = -1

X – действительная часть комплексного числа (Re Z).

Y – мнимая часть комплексного числа (Im Z).

Действия с комплексными числами в алгебраической форме: Z₁=a+ib и Z₂=c+id

1. Сумма: Z₁+Z₂=(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)

2. Разность: Z₁-Z₂=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)

3. Произведение: Z₁Z₂=(a+ib)(c+id)=ac+iad+ibc+i²bd=(ac+bd)+i(ad+bc)

4. Деление: Z₁/Z₂ = (a+ib)/(c+id) = (a+ib)(c-id)/(c+id)(c-id) = [(ac-bd)+i(bc-ad)]/(c²-i²d²) = [(ac-bd)/(c²-d²)]+i[(bc-ad)/c²-d²)].

6. Предел числовой последовательности, геометрический смысл предела последовательности.

a Є R, a – предел числовой последовательности; {a_n} при n → ∞, если последовательность {a_n - a} – бесконечно малая последовательность; т.е. для любого ε>0 существует n₀, зависящее от выбора ε (n₀= n₀(ε ) Є N) для любого n>n₀ выполняется неравенство |a_n - a|< ε.

Число а есть предел числовой последовательности {a_n}, если для ε>0 найдется номер n₀, начиная с которого все члены последовательности будут находиться в ε-окрестности, какой бы узкой не была эта окрестность. Вне этой окрестности может быть бесконечное число членов этой последовательности.

9. Монотонные последовательности. Теорема о сходимости ограниченной последовательности.

Числовая последовательность {a_n}:

• Возрастающая, если для любого n Є N выполняется неравенство a_n+1 >a_n

• Неубывающая, если для любого n Є N выполняется неравенство a_n+1 ≥a_n

• Убывающая, если для любого n Є N выполняется неравенство a_n+1 <a_n

• Невозрастающая, если для любого n Є N выполняется неравенство a_n+1 ≤a_n

Это все монотонные последовательности.

Теорема о сходимости ограниченной последовательности. Монотонная ограниченная последовательность сходится.

последовательность {a_n} – ограниченная и монотонная => существует lim a_n=a.

10. Число "е" как предел числовой последовательности (1+1/n)n  при n→∞.

Числовая последовательность {a_n}, где a_n = (1+1/n)ⁿ при n → ∞ имеет предел, заключенный между числами 2 и 3.

Доказательство: a_n = (1+1/n)ⁿ ||по биному Ньютона||

n-ый член раскладываем по биному Ньютона и показываем, что последовательность возрастающая и ограниченная, причем 2≤ (1+1/n)ⁿ <3. По теореме о сходимости ограниченной последовательности => что существует lim(1+1/n)ⁿ = иррациональному числу е=2.718

Число «е» называется предел числовой последовательности (1+1/n)ⁿ при n → ∞.

32. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

1. а) Область определения.

б) исследовать функцию на четность-нечетность и периодичность.

в) в точках разрыва функции найти вертикальные асимптоты, если они существуют.

г) найти наклонные асимптоты, если они существуют.

2. С помощью I производной найти интервалы на возрастание и убывание функции, экстремумы функции.

3. С помощью II производной найти интервалы выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба.

Найти точки пересечения графика с осями координат и возможно некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

22. Бесконечная производная. Односторонние производные. Дифференцируемость функции в точке, эквивалентность дифференцируемости существованию в точке конечной производной. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х, если она имеет конечную производную в этой точке.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой на промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

Теорема (о связи дифференцируемости и непрерывности функции).

Если функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀, то она является непрерывной в точке х₀. Обратное утверждение не верно, т.е. если функция непрерывна в точке х₀, отсюда не следует, что она дифференцируема в этой точке.

31. Асимптоты графика функции, определение, виды асимптот, способы нахождения.

Прямая называется асимптотой графика функции y=f(x), если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки от начала координат.

Асимптоты: вертикальные (∟ОХ); наклонные (не ∟ОХ) – частный случай горизонтальные.

1. Вертикальные асимптоты бывают в точках разрыва II рода, если lim f(x)=∞ или (и) lim f(x)=∞ => x=a – вертикальная асимптота

2. Наклонные асимптоты задаются уравнением y=kx+b, где

k = lim f(x)/x

b = lim (f(x) – kx) , если эти пределы существуют и они конечны. Иначе наклонной асимптоты нет.

25. Понятие о производных высших порядков.

f’(x) является функцией от х => она может иметь производную.

(f’(x))’=f’’(x) - производная II порядка.

f’’’(x) – производная III порядка.

f^iv(x)=f⁴(x) – производная IV порядка и т.д.

Производная n^го порядка есть функция y=f(x) называется производная от производной (n-1) порядка.

14. Арифметические свойства пределов функций.

Пусть существует lim f(x) =A и lim g(x) =B

1. Существует lim (f(x) ±g(x)) =А±B

2. Существует lim f(x)×g(x) =А×B

Пусть В≠0 тогда существует lim f(x)/g(x) =А/B

27. Дифференциал функции, его геометрический смысл.

Функция y=f(x) дифференцируема на множестве Х. Производная y’=limΔy/Δx => Δy/Δx отличается от производной f’(x) на бесконечно малую функцию α, т.е. можно представить

Δy/Δx =f’(x+α)Δx

Δy=f’(x)Δx+αΔx

Производная f’(x) называется дифференциалом функции y=f(x). f’(x)Δx=dy=df(x)

Если функция y=f(x) имеет конечную производную в точке х, то дифференциалом функции называется главная линейная часть приращения функции относительно приращения аргумента Δх.

y=x; dy=x’Δx=dx => Δx=dx

Дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением => df(x)=f’(x)Δx=f’(x)dx => f’(x)=df(x)/dx

Геометрический смысл дифференциала.

df=f’dx=tgαΔx=AB

Дифференциал функции y=f(x) в точке х соответствующей приращению аргумента Δх равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.

26. Экономический смысл производной. Эластичность функции.

1. Производительность труда в момент времени t есть производная от оъема произведенной продукции по времени. U’(t)

2. Рассматриваем издержки производства как функции количества выпускаемой продукции y=f(x).

Δх – прирост продукции; Δу – приращение издержек производства; Δу/Δх – среднее приращение издержек производства на единицу продукции => limΔy/Δx =y’ – предельные издержки производства, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции.

Аналогично можно определить предельную выручку, предельный доход и т.п.

Предельные величины характеризуют не состояние эк объекта (процесса) как средняя величина, а ее изменение. Производная есть скорость изменения некоторого эк процесса (объекта) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Эластичность функции.

Опр.: Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной х при Δх→0.

Е_х(y) = lim [(Δy/y):(Δx/x)]= lim [(Δyx)/(yΔx)] = x/y lim Δy/Δx = (x/y)y’ => E_x(y)=(x/y)y’

Эластичность функции показывает приближенно на сколько процентов изменится функция у при изменении независимой переменной х на один процент

37. Формула замены переменной в определенном интеграле, формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

Теорема (формула замены переменной в определенном интеграле).

1. Функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α;β].

2. φ(α)=a; φ(β)=b

3. функция f(x) – непрерывна в любой точке x=φ(t), где tЄ[α;β], т.е. определена функция f(φ(t)).

=> ∫f(x)dx=∫f(φ(t)φ’(t)dt.

Теорема (формула интегрирования по частям)

Функции U(x) и V(x) – имеют непрерывные производные на отрезке [a;b]. =>∫U dV=UV| - ∫V dU

Доказательство:

(UV)’=U’V+UV’. Проинтегрируем это равенство в пределах от a до b:

∫(UV)’dx=∫U’Vdx+∫UV’dx

UV|=∫V dU+∫U dV

Т.к. U’dx=dU; V’dx=dV

8. Арифметические свойства сходящихся последовательностей. Теорема о сохранении знака. Теорема о предельном переходе в неравенстве. Теорема о пределе промежуточной последовательности.

{a_n}, {b_n} – сходящиеся последовательности, т.е. lim a_n=a, lim b_n=b

1. Cуществует lim(a_n±b_n)=a±b

Доказательство: lim a_n=a => a_n=a+α_n, lim b_n=b => b_n=b+β_n, где α_n и β_n – беск. малые последов-ти. Тогда lim(a_n+b_n)= lim(a+α_n+b+β_n)= lim(a+b+α_n+β_n)= a+b+0=a+b, т.к. (α_n+β_n)→0 при n→∞.

2. Cуществует lim(a_nb_n)=ab

Доказательство: lim a_n=a => a_n=a+α_n, lim b_n=b => b_n=b+β_n, где α_n и β_n – беск. малые последов-ти.

Тогда lim(a_nb_n)= lim[(a+α_n)(b+β_n)]= lim(ab+aβ_n+bα_n+α_nβ_n)= ab+0=ab, т.к. (aβ_n+bα_n+α_nβ_n)→0

1. Пусть b≠0 => существует lim[a_n/b_n]=a/b

Теорема о сохранение знака.

Lim a_n=a для любого nЄN, a_n>0 (<0) => a>0 (<0)

Доказательство: Lim a_n=a  для любого ε>0 существует n₀=n₀(ε)ЄN: для любого n>n₀ выполняется неравенство |a_n-a|<ε => -ε<a_n-a< => a-ε<a_n<a+ε т.к. a_n>0 => a+ε>0 и a-ε<0 => a>-ε и a<ε => a>0

Теорема о предельном переходе в неравенство.

Lim a_n=a и lim b_n=b для любого nЄN => a≤b

Теорема о пределе промежуточной последовательности.

Для любого nЄN a_n≤x_n≤b_n: a_n=c, b_n=c

Lim a_n=c, lim b_n=c => lim x_n=c

13. Основные теоремы о пределах: единственность предела; локальная ограниченность функции, имеющей предел; сохранение функцией знака своего предела; о предельном переходе в неравенстве; о пределе промежуточной функции.

Теорема о единственности предела. Пусть существует lim f(x)=A => этот предел А-единственный.

Функция f(x) ограничена в области изменения аргумента Х, если существует число М>0: для любого х Є Х => |f(x)|≤М. Если такого числа М не существует, то функция не ограничена.

Теорема о локальной ограниченности функции имеющей предел. Пусть существует lim f(x) =A, А-конечное число, тогда функция f(x) ограничена в некоторой окрестности точки а, т.е. говорят, что функция f(х) ограничена при х→а.

Теорема о сохранении знака. Пусть существует lim f(x) =A, А - конечное число и пусть функция f(х) >0 в некоторой окрестности точки а => число А>0.

Теорема о предельном переходе в неравенство. Пусть существует lim f(x) =A и пусть существует lim g(x) =B и при этом в некоторой окрестности точки а f(x)≤ g(x) => A≤B.

Теорема о пределе промежуточной функции. Пусть существует lim f(x) =A и пусть lim g(x) =А и существует lim h(x). В некоторой окрестности точки а выполняется неравенство f(x) ≤h(x) ≤g(x) для любого х, тогда lim h(x)=А.

15. Бесконечно малые функции. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой. Свойства бесконечно малых функций.  Бесконечно большие функции, их связь с бесконечно малыми функциями.

Y = α(x) называется бесконечно малой функции при х→а (∞) при данном стремлении аргумента если существует lim α(x) =0

α(x) – бесконечно малая функция при х→а (∞).

Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой. Существует lim f(x) =A, А-конечное число  f(x) = А+ α(x), где α(x) - бесконечно малая функция при х→а (∞).

Свойства бесконечно малых функций.

1. α(x) , β(х) – бесконечно малые функции при х→а (∞) => сумма бесконечно малых функций будет бесконечно малая функция => [α(x)+β(x)] – б.м.ф. при х→а.

2. α(x) – бесконечно малая функция при х→а (∞). F(x) – ограниченная функция при х→а (∞) => [α(x)×f(x)] - бесконечно малая функция при х→а (∞). Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

Функция β(х) называется бесконечно малой функции при х→а (∞) при данном стремлении аргумента если существует предел равный ± ∞ (lim f(x) = ±∞).

Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.

α(x) – бесконечно малая функция при х→а (∞).

α(x)≠0 в некоторой окрестности точки а => β(х)=1/α(x) является бесконечно большой функцией при х→а.

23. Основные правила дифференцирования: производная постоянной, суммы, произведения и частного. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

1) Δx; 2)Δy=f(x+Δx)-f(x); 3)Δy/Δx Если lim Δy/Δx существует, то lim Δy/Δx = y’(x)

Основные правила дифференцирования

1. (U+V)’= U’+V’

2. (UV)’= U’V+UV’

3. (U/V)’= [U’V-UV’]/V²

4. (cU)’= cU’, где с=const.

Производная сложной функции: y=f(U) и U=φ(x) – дифференцируемые функции => существует производная сложной функции y=f(φ(x)), равная производной функции f по промежуточному аргументу U, умноженной на производную промежуточного аргумента U по независимому аргументу x. y’=f’U’=f’(U)U’(x)=f’(φ(x))φ’(x)

Производная обратной функции: y=f(x) – дифференцируема и строго монотонная функция на промежутке Х. Если у рассматривать как аргумент, а переменную х как функцию от у => x=φ(y) является обратной к функции y=f(x) и функция непрерывна на соответствующем промежутке Y.

Теорема. Функция y=f(x) дифференцируема и производная этой функции не равна нулю на соответствующем промежутке Х и существует обратная функция на промежутке Х, тогда существует производная x’(y)=1/y’(x).

36. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Вывод формулы Ньютона-Лейбница.

Функция y=f(x) непрерывна на [a;b] => существует ∫f(x)dx.

Нижний предел (точка а) закреплен, а верхний предел меняется ∫f(t)dt, a≤x≤b.

Полученный интеграл функцию верхнего предела х, т.е. Ф(х)=∫f(t)dt.

Если функция y=f(x) непрерывна на [a;b] => Ф(х)=∫f(t)dt – непрерывна на отрезке [a;b].

Теорема 1. Функция y=f(x) непрерывна на [a;b] и функция Ф(х)=∫f(t)dt – интеграл с переменным верхним пределом => производная от интеграла с переменным верхним пределом по верхниму пределу равна подынтегральной функции: Ф’(x)=(∫f(t)dt)’=f(x) для любого хЄ[a;b].

Теорема (формула Ньютона-Лейбница).

1. Функция y=f(x) непрерывна на [a;b].

2. Функция F(x) – произвольная первообразная для функции f(x) на отрезке [a;b].

=> ∫f(x)dx=F(b)-F(a), т.е. определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a;b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке.

Доказательство: Функция F(x) –первообразная для функции f(x) по условию. Функция Ф(х)=∫f(t)dt по теореме 1 тоже первообразная для функции f(x). Существует такое число с, что F(x)=Ф(х)+с. Рассмотрим приращение первообразной на отрезке [a;b].

F(b)-F(a)=(Ф(b)+c)-(Ф(a)+c)=Ф(b)-Ф(a)=∫f(x)dx-∫f(x)dx => F(b)-F(a)=∫f(x)dx.

2. Модуль и аргумент комплексного числа, тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа. Действия с комплексными числами в тригонометрической и показательной форме. Извлечение корня из комплексного числа.

Комплексное число Z=X+iY изображается на плоскости точкой М(x,y).

z=x+iy – длина радиус вектора ОМ. Модуль комплексного числа – это действительное число, равное |z|=√x²+y².

Аргументом комплексного числа Z=X+iY называется угол между радиус-вектором точки, соответствующей комплексному числу на плоскости и положительным направлением оси ОХ. Arg Z = φ+2πk, k ЄZ

Главным значением аргумента комплексного числа z называется аргумент, лежащий в промежутке (-π; π]. arg z = φ

cos φ=x/|z| или sin φ=y/|z|

Z=X+iY – алгебраическая форма записи

Z=|Z|(cosφ+isin φ) тригонометрическая форма записи

Z=|Z|e^iφ – показательная форма записи

Действия с комплексными числами:

z₁=|z₁|(cosφ₁+isin φ₁)=|z₁|e^iφ1 и z₂=|z₂|(cosφ₂+isin φ₂)=|z₂|e^iφ2

1. Умножение:

• z₁ z₂=|z₁|z₂|(cosφ₁+isin φ₁)(cosφ₂+isin φ₂)=|z₁|z₂|(cos(φ₁+φ₂)+isin(φ₁+φ₂))

• z₁ z₂=|z₁|z₂| e^i(φ1+φ2)

4. Множество действительных (вещественных) чисел, числовая ось, интервалы, окрестности точек.

Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел (R’).

Числовая ось – это бесконечная прямая, на которой выбраны:

• Некоторая точка О, называемая началом отсчета;

• Положительное направление, которое указывается стрелкой;

• Масштаб для измерения длин.

Действительные числа можно обозначать точками на числовой оси, при этом данные соответствия однозначны.

Отрезком называется совокупность всех чисел, заключенных между данными числами а и b, причем оба числа принадлежат данному отрезку. [a,b] = {x: a ≤ x ≤ b}

Интервал – это совокупность чисел, заключенных между данными числами а и b, причем оба числа не принадлежат данному отрезку. (a,b) = {x: a < x < b}

Полуинтервал:

[a,b) = {x: a ≤ x < b}

(a,b] = {x: a < x ≤ b}

[a,∞) = {x: x ≥ a}

(-∞,b] = {x: x ≤ b}

Окрестностью точки х₀, х₀ Є R, -∞ < x₀ < ∞, называется произвольный интервал (a,b), концы которого удовлетворяют условию: a < x₀ < b.

Проколотая окрестность точки х₀ – это δ-окрестность, не содержащая точку х₀.

δ- радиус окрестности;

11. Различные типы стремления действительного аргумента и соответствующие им семейства окрестностей.

Действительный аргумент х стремится к конечному числу а (х→а) для любого δ>0 существует такое значение аргумента х, что для всех последующих значений этого аргумента выполяется неравенство |x-a| < δ.

Постоянное число а является пределом аргумента х, если для любой сколь угодно малой окрестности точки а радиуса δ существует такое значение аргумента х, что все точки, соответствующие последующим значениям будут находиться в этой окрестности.

Действительный аргумент х стремится к конечному числу а справа (х→а+0 или х→а+) если для любого δ>0 существует такое значение аргумента х, что для всех последующих значений этого аргумента выполяется неравенство x-a < δ.

Действительный аргумент х стремится к конечному числу а слева (х→а-0 или х→а-) если для любого δ>0 существует такое значение аргумента х, что для всех последующих значений этого аргумента выполяется неравенство а-х < δ.

Действительный аргумент х стремится к бесконечности (х→∞) если для любого δ>0 существует такое значение аргумента х, что для всех последующих значений этого аргумента выполяется неравенство |х| > δ.

Действительный аргумент х стремится к плюс бесконечности (х→+∞) если для любого δ>0 существует такое значение аргумента х, что для всех последующих значений этого аргумента выполяется неравенство х > δ.

Действительный аргумент х стремится к минус бесконечности (х→ - ∞) если для любого δ>0 существует такое значение аргумента х, что для всех последующих значений этого аргумента выполяется неравенство х >-δ.

20. Производная функции в точке, ее физический смысл. Задача о производительности труда.

Функция y=f(x) определена на множестве ХЄR. Зададим аргументу х приращение Δх => функция y=f(x) получит приращение Δy=f(х+Δx)=f(x).

Производной функцией y=f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δх при Δх→0, если этот предел существует.

Lim (Δy/Δx)=lim [f(x+Δx)-f(x)]/Δx = f’(x).

Вычисление производной функции называется дифференцированием этой функции.

Физический смысл производной.

По некоторой прямой движется материальная точка по закону S(t), где S – пройденный путь, t – время. Необходимо найти скорость точки в момент времени t₀.

Пусть к моменту t₀ пройденный путь равен S₀= S(t₀), а к моменту (t₀+Δt) пройденный путь S(t₀+Δt). => за прошедшее время Δt средняя скорость движения V_ср=ΔS/Δt=[S(t₀+Δt)- S(t₀)]/Δt. Чтобы найти скорость точки в момент времени t₀ нужно рассмотреть lim ΔS/Δt=lim[S(t₀+Δt)- S(t₀)]/Δt=S’(t).

Производная пути от времени в точке t₀ есть мгновенная скорость в данный момент времени t₀.

Задача о производительности труда.

Функция U=U(t) выражает кол-во произведенной продукции за время t. Необходимо найти производительность труда в момент t₀. За период времени от t до (t₀+Δt) количество произведенной продукции будет равно ΔU=U(t₀+Δt₀)-U(t₀). Производительность труда в момент времени t можно определить как lim ΔU/Δt=lim[U(t₀+Δt)- U(t₀)]/Δt=U’(t₀). Производительность труда в момент времени t₀ равна производной в точке t₀ от функции выражающей зависемость количества продукции от времени t₀.

35. Определенный интеграл, достаточные условия существования определенного интеграла, свойства определенного интеграла, теорема о среднем.

Функция y=f(x) непрерывна на [a;b].

1. Произвольно разбиваем отрезок [a;b] на части точками: x₀=a, x₁, x₂, …, x_n=b

2. Длину каждой части (отрезка) разбиения обозначаем: Δх_i=x_i-x_i-1. max длину отрезка разбиения обозначаем δ=maxΔx_i.

3. На каждом отрезке разбиения выберем произвольно точку c_iЄ[x_i-1;x_i]. Рассмотрим значение функции в точке c_i, т.е. f(c_i) и умножим на длину i-го отрезка.

4. Сумма ∑f(c_i)Δx_i называется интегральной суммой.

Рассмотрим пределы интегральной суммы при δ→0 (при max длине отрезка разделения, стремящегося к нулю): lim ∑f(c_i)Δx. Если существует предел интегральных сумм при δ→0, n→∞ и этот предел не зависит от способа разбиения и выбора точки c_i, то он называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается lim ∑f(c_i)Δx = ∫ f(x)dx.

Замечание: Определенный интеграл – это число, а неопределенный – множество функций.

Определенный интеграл для функции y=f(x)≥0 на [a;b] численно равен площади криволинейной трапеции.

Теорема (достаточные условия существования определенного интеграла)

Функция y=f(x) непрерывна на [a;b] => f(x) – интегрируема на отрезке [a;b], т.е. существует ∫f(x)dx.

Свойства определенных интегралов.

1. ∫ k f(x)dx=k∫f(x)dx, где k=const

2. ∫(f(x)±g(x))=∫f(x)dx±∫g(x)dx

3. ∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx, где a≤c≤b

4. f(x)≤g(x) для любого хЄ[a;b] => ∫f(x)dx≤∫g(x)dx

5. Теорема о среднем.

Функция y=f(x) непрерывна на [a;b] => существует точка cЄ[a;b] такая, что ∫f(x)dx=f(c)(b-a).

Геометрический смысл теоремы: Если функция не отрицательна на отрезке, то существует такая точка с на отрезке [a;b], что S криволинейной трапеции равна S прямоугольника со сторонами f(c) и (b-a).

21. Касательная, геометрический смысл производной.  Уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке.

Непрерывная кривая y=f(x). Найти уравнение касательной в точке M(x₀;y₀).

Касательной к кривой y=f(x) в точке M(x₀;y₀) называется предельное положение секущей М₀М₁ при приближении точки М₁ к точке М₀, т.е. при Δх→0.

Уравнение прямой проходящей через точку М₀ с угловым коэффициентом k (k=tgφ):

y-f(x₀)=k(x-x₀). Из ΔМ₀М₁N: tg φ=M₁N/M₀N=Δy/Δx. Получаем для касательной угловой коэффициент k=lim Δy/Δx=f’(x)

Производная функции y=f(x) в точке х₀ есть тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке х₀.

y-f(x₀)=f’(x₀)(x-x₀) – уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке х₀.

Нормаль к графику функции в заданной точке – это прямая, перпендикулярная к касательной к графику функции в этой точке.

Угловые коэффициенты k₁ и k₂ перпендикулярных прямых связаны соотношением k₁k₂=-1

Поэтому угловой коэффициент нормали k₀= -1/f’(x₀).

y-f(x₀)= [-1/f’(x₀)](x-x₀) – уравнение нормали к графику функции y=f(x) в точке х₀.

5. Понятие числовой последовательности, примеры. Ограниченные и неограниченные числовые последовательности, бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности.

Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой числовой последовательности.

N – множество натуральных чисел. Множество X является подмножеством множества R – действительных чисел.

Функция f: N → X (область определения является множество N, а область значений является множество Х) называется числовой последовательностью. F(n)=a_n

{a_n = (-1)ⁿ}

{a_n = 1/n}

Числовая последовательность {a_n} ограничена сверху, если ограничено сверху множество ее значений, т.е. существует MЄR: для любого nЄN: a_n≤M.

Числовая последовательность {a_n} ограничена снизу, если ограничено снизу множество ее значений, т.е. существует MЄR: для любого nЄN: a_n≥M.

Числовая последовательность {a_n} ограничена, если она ограничена сверху и ограничена снизу, т.е. существует AЄR: для любого nЄN: выполняется неравенство |a_n|≤A.

Числовая последовательность {a_n} неограниченна, если для любого A>0 существует n₀ЄN: для любого n>n₀: |a_n|>εA

Числовая последовательность {a_n} бесконечно большая, если начиная с некоторого номера все члены последовательности оказываются больше любого наперед заданного числа. (по модулю)

Числовая последовательность {a_n} бесконечно большая, если для ε>0 существует n₀ЄN: для любого n>n₀: |a_n|>ε.

Числовая последовательность {a_n} бесконечно малая, если начиная с некоторого номера все члены последовательности оказываются меньше любого наперед заданного числа. (по модулю)

Числовая последовательность {a_n} бесконечно малая, если для ε>0 существует n₀ЄN: для любого n>n₀: |a_n|<ε.

Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой числовой последовательности.

1.Пусть {a_n} - бесконечно большая последовательность => n₀ЄN: для любого n>n₀: последовательность {1/a_n} определена и является бесконечно малой последовательностью.

2.Пусть {a_n} - бесконечно малая последовательность => при а_n≠0 n₀ЄN: для любого n>n₀: последовательность {1/a_n} определена и является бесконечно большой последовательностью.

33. Первообразная и неопределенный интеграл. Теорема о первообразных. Геометрический смысл неопределенного интеграла, свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций.

f(x)→f’(x) – дифференциальное исчисление

f’(x)→f(x) – интегральное значение

В интегральном исчислении решается задача нахождения самой функции по ее производной.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке хЄХ выполняется равенство: F’(x)=f(x).

Теорема.

F₁(x) и F₂(x) – первообразные для функции f(x) на некотором промежутке Х => существует такое число с, F₂(x)= F₁(x) + с.

Совокупность всех первообразных функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом: ∫ f(x)dx = F(x)+c, где ∫ - знак интеграла; f(x) – подынтегральная функция; f(x)dx – подынтегральное выражение; c – произвольная постоянная; F’(x)=f(x).

Операция вычисления неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Геометрический смысл неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл представляет собой совокупность (семейство) кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вдоль оси OY, поскольку такой сдвиг не меняет углового коэффициента касательной.

Свойства неопределенного интеграла.

1. (∫ f(x)dx)’=f(x)

2. d(∫ f(x)dx)=f(x)dx

3. ∫ dF(x)=F(x)+c

4. c=const => ∫c f(x)dx = c∫ f(x)dx

5. ∫ [f(x)±g(x)]= ∫ f(x) ± ∫g(x)

Интегралы основных элементарных функций: ∫0dx=c, c=const

29. Возрастание и убывание функции, определения, достаточные и необходимые условия. Экстремум функции, определения, необходимое (теорема Ферма) условие, первое достаточное условие, второе достаточное (со второй производной) условие. Схема исследования дифференцируемой функции на экстремум с помощью первой производной. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Возрастание и убывание:

Для любого х₁<x₂ f(x₁)<f(x₂) => функция y=f(x) возрастает.

Для любого х₁<x₂ f(x₁)>f(x₂) => функция y=f(x) убывает.

Доказательство: для любых х₁, х₂ Є(a;b): x₁<x₂. По теореме Лангранжа о конечных приращениях выполняется равенство f(x₁)-f(x₂)=f’(c)(x₂-x₁) для некоторого cЄ(a;b).

f’(c)>0 (по условию теоремы); x₂-x₁>0, т.к. x₂>x₁

f(x₂)-f(x₁)>0 => f(x₂)>f(x₁) для любых x₂>x₁, т.е. функция y=f(x) возрастает на [a;b].

Доказательство: Зададим аргументу х приращение Δх и рассмотрим отношение

[f(x+Δx)-f(x)]/Δx. Т.к. функция возрастает, то рассмотрим 2 случая:

1. Δх >0 => [f(x+Δx)-f(x)]/Δx=[+/+]>0

2. Δx<0 => [f(x+Δx)-f(x)]/Δx=[-/-]>0

Из 1 и 2 случаях => [f(x+Δx)-f(x)]/Δx > 0 => lim [f(x+Δx)-f(x)]/Δx =f’(x) ≥0

Экстремумы (min или max) функции

Опр.: Точка х₀ называется точкой локального max, если для любого х из некоторой проколотой окрестности точки х₀ U_δ(x₀) выполняется неравенство f(x)<f(x₀).

Опр.: Точка х₀ называется точкой локального min, если для любого х из некоторой проколотой окрестности точки х₀ U_δ(x₀) выполняется неравенство f(x)>f(x₀).

Необходимое условие существования экстремума (теорема Ферма)

Функция y=f(x)

1. дифференцируема и непрерывна

2. точка х₀ – точка локального экстремума

=> f’(x)=0, НО из того, что производная функции равна 0 в точке х₀ не следует, что точка х₀ – точка экстремума.

Первое достаточное условие существования экстремума.

Функция y=f(x)

1. непрерывна на промежутке Х и точка х₀ЄХ.

2. дифференцируема на промежутке Х, кроме, может быть, точки х₀.

a) f’(x)>0 слева от точки х₀, т.е. при x<x₀ и f’(x)<0 справа от точки х₀, т.е. при x>x₀

=> точка х₀ – точка локального max.

б) f’(x)<0 слева от точки х₀, т.е. при x<x₀ и f’(x)>0 справа от точки х₀, т.е. при x>x₀

=> точка х₀ – точка локального min.

Доказательство: а) при x<x₀, f’(x)>0 => в соотв. с достаточными условиями возрастания и убывания функции y=f(x) – возрастает, т.е. f(x₀)>f(x) – слева; x>x₀, f’(x)<0 => функция y=f(x) – убывает, т.е. f(x₀)>f(x) – справа;

=> окрестности точки х₀ значение функции f(x)<f(x₀), т.е. точка х₀ – точка локального max.

(аналогично пункт б))

Второе достаточное условие существования экстремума.

Функция y=f(x):

1. Дважды дифференцируема

2. f’(x₀)=0

3. f”(x₀)>0 (<0)

=> x₀ – точка локального min (max).

Схема исследования дифференцируемой функции на экстремум с помощью первой производной.

1. Найти производную функцию (y’(x))

2. Критические точки I производной, т.е. те точки, где y’(x) не существует или y’(x)=0.

3. Нанести критические точки на числовую ось и рассматривать знак производной на каждом полученном интервале. Сделать вывод о наличии экстремума.

4. Вычислить значения функции в критических точках.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Функция y=f(x). По теореме Вейерштрассе непрерывная на отрезке функция принимает max и min значения на этом отрезке. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке функция может принимать либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка. Алгоритм:

1. Найдем y’=f’(x)

2. Найдем критические точки производной, т.е. те точки, где y’=0 или y’ не существует.

3. Найдем значение функции в критических точках и на концах отрезка и выберем из них наиб и наим.

39. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоской фигуры, вычисление объема тела вращения, вычисление длины дуги кривой, вычисление площади поверхности тела вращения.

1. Вычисление площади плоской фигуры.

Рассмотрим функцию y=f(x)≥0 и непрерывна на отрезке [a;b].

Площадь криволинейной трапеции: S=∫f(x)dx. Криволинейная трапеция – это плоская фигура, ограниченная кривой y=f(x) и прямыми x=a, x=b, y=0

Если функция y=f(x)≤0 и непрерывна на отрезке [a;b]: S= -∫f(x)dx

Теорема.

1. Функции y=f₁(x) и y=f₂(x) – непрерывна на [a;b]

2. f₂(x)≥f₁(x) на отрезке [a;b]

=> площадь фигуры заключенной между кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x) на отрезке [a;b] вычисляется по формуле: S=∫[f₂(x) – f₁(x)]dx.

2. Вычисление объема тела вращения.

А) Функция y=f(x) знакопостоянная и непрерывная на отрезке [a;b]

Объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции ограниченной кривыми y=f(x), y=0, x=a, x=b, равен: V_x=π∫[f(x)]²dx

Б) Функция y=f(x) знакопостоянная и непрерывная на отрезке [a;b], причем a≥0.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси ОY криволинейной трапеции ограниченной кривыми y=f(x), y=0, x=a, x=b, равен: V_y=2π∫x|f(x)|dx

3. Вычисление длины дуги кривой.

Функция y=f(x) непрерывная вместе с производной на отрезке [a;b].

По теореме Пифагора: ΔL=√(Δx_i²+Δy_i²)=√[1+(Δy_i²/Δx_i²)] Δx_i

lim∑√[1+(Δy_i²/Δx_i²)] Δx_i =∫√[1+(f’(x))²]dx

Длина дуги кривой на отрезке [a;b] равна: L=∫√[1+(f’(x))²]dx.

4. Вычисление площади поверхности тела вращения

=f(x) a≤x≤b. Кривая вращается вокруг оси OX. Функция y=f(x) непрерывная и имеет непрерывную производную на отрезке [a;b]. При разбиении отрезка [a;b] будем считать, что каждому отрезку разбиения соответствует усеченный конус.

S_iпов – площадь поверхности усеченного конуса.

S_iпов=2πΔl_i[(y_i-1+y_i)/2] = 2π√[1+(f’(c_i))²]Δx_i[(y_i-1+y_i)/2] = π√[1+f Суммируем по всем отрезкам разбиения эти выражения и переходим к пределу:

S_пов= π∫f(x)√[ 1+f’(c)²]dx

’(c)²]Δx_i(f(x_i-1)+f(x_i))

17. Непрерывность функции в точке, равносильные формулировки. Арифметические свойства непрерывных функций (непрерывность суммы, произведения, частного и композиции непрерывных функций). Непрерывность основных элементарных функций (доказательство для   cos x).

Опр. 1: Функция у=f(x) непрерывна в точке х₀, если:

1. она определена в точке х₀ и некоторой окрестности этой точки;

2. limΔy=lim(f(x₀+Δx)-f(x₀))=0

lim(f(x₀+Δx)-f(x₀))=0 => limf(x₀+Δx)=f(x₀)

Опр. 2: Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если:

1. она определена в точке х₀ и некоторой окрестности этой точки;

2. существует конечный предел функции f(x) при х→х₀.

3. этот предел равен значению функции в точке х₀.

Для того, чтобы найти предел непрерывной функции при х→х₀ достаточно в значение функции вместо аргумента х подставить его значение х₀.

Арифметические свойства непрерывных функций:

Функции: y=f(x) и y=g(x) – непрерывные функции в точке х₀ =>

1. Функция φ(х)= f(x)+g(x) тоже непрерывна в точке х₀.

Доказательство:

Нужно показать lim[φ(х₀+Δx)-φ(х₀)]=0

Limφ(x)=φ(х₀)

Limφ=lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)

limf(x) – ввиду непрерывности limf(x)=f(x₀)

limg(x) - ввиду непрерывности limg(x)=g(x₀)

2. Функция φ(х)= f(x)g(x) является непрерывной в точке х₀, т.е. произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.

3. пусть g(x)≠0 в точке x₀ => φ(х)= f(x)/g(x) – непрерывная функция в точке х₀.

4. непрерывность композиции непрерывных функций:

Функция y=f(U) – непрерывная функция в точке U₀.

U=φ(x) - непрерывная функция в точке x₀.U₀= φ(x₀)

=> Функция y=f(φ(x)) - непрерывная функция в точке x₀.

y=f(φ(x)) – композиция функций f(U) и φ(x), сложная функция.

Все элементарные функции непрерывны в области их определения. Элементарные функции

Докажем непрерывность функции у=cos x. Нужно показать limΔy=0

limΔy= lim(f(x₀+Δx)-f(x₀))=lim(cos(x₀+Δx)-cos(x₀))=lim[-2sin((2x₀+Δx)/2)sin((x₀+Δx-x₀)/2))=

= -2lim(sin(x₀+(Δx/2))sin(Δx/2))= -2cos(x₀)sin 0 = 0 => функция y=0 непрерывна в любой точке x₀ЄR, т.е. непрерывна на R.

38. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования, примеры. Несобственные интегралы от неограниченных функций, пределы. Признак сравнения для исследования сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования и несобственных интегралов от неограниченных функций.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Будем рассматривать интегралы, в которых хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен. ∫f(x)dx - ∫f(x)dx - ∫f(x)dx

a) Функция y=f(x) определена и интегрируема на любом отрезке [a;ε], ε≥a, т.е. определена функция Ф(ε)=∫f(x)dx (или с переменным верхним пределом).

Несобственным интегралом ∫f(x) называется предел функции Ф(ε) при ε→+∞, т.е. ∫f(x)dx=lim∫f(x)dx.

Если предел существует и конечный, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечный, то несобственный интеграл - расходящийся.

б) Несобственным интегралом ∫f(x) называется предел при ε→- ∞ определенного интеграла ∫f(x)dx, т.е. ∫f(x)dx=lim ∫f(x)dx, ε≤b

в) ∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx, где c – произвольное фиксированное число.

∫f(x)dx = lim ∫f(x)dx+lim∫f(x)dx.

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

а) Функция y=f(x) – непрерывна, но не ограничена на полуинтервале [a;b).

Опр.: несобственный интеграл ∫f(x)dx называется lim ∫f(x)dx=∫f(x)dx

Если предел существует и конечный, то несобственный интеграл - сходящийся. А иначе расходящийся

б) Функция y=f(x) – непрерывна, но не ограничена на полуинтервале (a;b].

Опр.: несобственный интеграл от функции, неограниченный в точке а, называется ∫f(x)dx=lim∫f(x)dx

в) Функция y=f(x) – непрерывна, но не ограничена в точке сЄ(a;b).

Опр.: несобственный интеграл от функции, неограниченный в точке сЄ(a;b), называется ∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx=lim∫f(x)dx+lim∫f(x)dx

Признак сравнения для исследования сходимости

1. несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования

Пусть для любого х, х≥а, выполнено неравенство 0≤f(x)≤g(x) =>

a) если интеграл от большей функции g(x) сходится, то сходится и интеграл от меньшей функции f(x), т.е. ∫g(x)dx – сходится =>∫f(x)dx – сходится.

б) если интеграл от меньшей функции f(x) расходится, то расходится и интеграл от большей функции g(x), т.е. ∫f(x)dx – расходится =>∫g(x)dx - расходится.

Замечание: Если интеграл от меньшей функции сходится, то про сходимость интеграла от большей функции сказать ничего нельзя. Если интеграл от большей функции расходится, то про сходимость интеграла от меньшей функции сказать ничего нельзя.

Замечание: При использовании признаков сравнения для исследования сходимости несобственных интегралов удобно подынтегральную функцию оценивать функцией вида g(x)=1/xⁿ. При этом ∫1/xⁿ: - сходится, если n>1; -расходится, если n≤1.

2. несобственных интегралов от неограниченных функций

Пусть для любого хЄ[a;b] выполнено неравенство 0≤f(x)≤g(x) и функции f(x) и g(x) неограниченны в точке x=b =>

а) Если интеграл от большей g(x) функции сходится, то и интеграл от меньшей функции f(x) сходится, т.е. ∫g(x)dx – сходится => ∫f(x)dx – сходится.

б) Если интеграл от меньшей f(x) функции расходится, то и интеграл от большей функции g(x) расходится, т.е. ∫f(x)dx – расходится => ∫g(x)dx – расходится.

Замечание: При использовании признака сравнения для исследования сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций удобно подынтегральную функцию сравнивать с функцией g(x)=1/(x-b)ⁿ, при этом ∫1/(x-b)ⁿdx: - сходится, если n<1; расходится, если n≥1.

18. Непрерывность функции на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке (ограниченность непрерывной на отрезке функции, теорема Вейерштрасса, теорема Больцано-Коши).

Функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х из множества действительных чисел R, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1. Ограниченность непрерывной на отрезке функции;

Функция y=f(x) – непрерывна на отрезке [a;b] => функция y=f(x) ограничена на отрезке [a;b].

Y
O	X

2. Теорема Вейерштрасса.

Функция y=f(x) – непрерывна на отрезке [a;b] => функция y=f(x) достигает на на отрезке [a;b] наибольшее и наименьшее значения, т.е. существует точка с₁Є[a;b]: f(c₁)=M – наибольшее значение функции на отрезке [a;b]; существует точка с₂Є[a;b]: f(c₂)=m – наименьшее значение функции на отрезке [a;b].

3. Теорема Больцано-Коши.

Функция y=f(x) – непрерывна на отрезке [a;b] и пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки, т.е. f(a)f(b)<0 => существует точка cЄ(a;b): f(c)=0

34. Методы интегрирования: метод замены переменной (способ подстановки), метод интегрирования по частям, интегрирование рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов).

1. Метод замены переменной (способ подстановки)

∫ f(x)dx сделаем замену переменной:

x=φ(t), где φ(t) – непрерывная функция, имеющая производную и обратную функцию => dx=d(φ(t))= φ’(t)dt

∫(f(x)dx=∫f(φ(t)) φ’(t)dt

2. Метод интегрирования по частям

Функции U(x) и V(x) –дифференцируемы.

(UV)’=U’V+UV’. Проинтегрируем это равенство:

∫(UV)’dx=∫U’Vdx+∫UV’dx

U’dx=dU; V’dx=dV

UV=∫V dU+∫U dV

∫U dV=UV - ∫V dU

Части U и dV. При этом функция U выбирается так, чтобы она упрощалась при дифференцировании. Интегралы, берущиеся по частям:

3. Интегрирование рациональных дробей:

Многочленом степени n от переменной х называется a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=P_n(x). Дробь P_n(x)/Q_m(x), где P_n(x) – многочлен степени n от х, а Q_m(x) – многочлен степени m от х, называется рациональной дробью.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Рациональная дробь называется неправильной, если степень числителя больше или равна степени знаменателя. Делением всякую неправильную дробь можно привести к правильной плюс целая часть.

1. ∫dx/(ax+b), a≠0; b≠0

∫dx/(ax+b) = ∫dx/a(x+b/a) = 1/a∫dx/(x+b/a) = 1/a∫dt/t = 1/a ln|t|+c = 1/a ln|x+b/a|+c

||x+b/a=t; d(x+b/a)=dt; dx=dt||

2. ∫dx/(ax+b)ⁿ, n=2,3…

∫dx/aⁿ(x+b/a)ⁿ = 1/aⁿ∫dt/tⁿ = 1/aⁿ∫t^-ndt = t^-n+1/aⁿ(-n+1)+c = [(x+b/a)^1-n (-n+1)]+c

|| x+b/a=t; d(x+b/a)=dt; dx=dt||

30. Выпуклость и вогнутость функции, определения, достаточные и необходимые условия. Точки перегиба функции, определение, достаточные и необходимые условия. Схема исследования дифференцируемой функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба с помощью второй производной.

Опр.: Функция y=f(x) называется выпуклой на промежутке Х, если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом промежутке.

Опр.: Функция y=f(x) называется вогнутой на промежутке Х, если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом промежутке.

Теорема (достаточное условие выпуклости (вогнутости) дифференцируемой функции)

Функция y=f(x):

1. Дважды дифференцируема на промежутке Х.

2. f’’(x)<0 (>0) для любого хЄХ => функция y=f(x) выпуклая (вогнутая) на промежутке Х.

y=f(x) – выпуклая, если f’’(x)<0

y=f(x) – вогнутая, если f’’(x)>0

Теорема (необходимое условие выпуклости (вогнутости) дифференцируемой функции)

Функция y=f(x):

1. Дважды дифференцируема на промежутке Х.

2. Выпуклая (вогнутая) на промежутке Х.

=> f”(x)≤0 (≥0) для любого хЄХ.

Точки перегиба функции.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы выпуклости и вогнутости функции, т.е. точка, в которой выпуклость сменяется вогнутостью и наоборот. Если в точке перегиба существует касательная, то она пересекает кривую, т.е. с одной стороны касательная лежит ниже кривой, а с другой – выше.

Теорема (необходимое условие существования точки перегиба)

Функция y=f(x):

1. Дважды дифференцируема.

2. х₀ – точка перегиба графика функции

=> f”(x)=0

Теорема (достаточное условие существования точки перегиба)

Функция y=f(x):

1. Дважды дифференцируема.

2. II производная f”(x) при переходе через точку х₀ меняет знак, т.е. f”(x)>0 слева от х₀ и f”(x)<0 справа от точки х₀ или наоборот.

=> х₀ – точка перегиба графика функции y=f(x).

Схема исследования на выпуклость, вогнутость и точки перегиба с помощью второй производной.

1. Найти II производную: y”=f”(x)

2. Найти критические точки II производной, т.е. те точки, где y”=0 или y” не существует.

3. Нанести критические точки на числовую ось и исследовать знак II производной на каждом из полученных интервалов. Сделать вывод об интервалах выпуклости, вогнутости и о точках перегиба.

4. Найти значение функции в точках перегиба.

28. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа, правило Лопиталя-Бернулли раскрытия неопределенностей вида [0/0] и [∞/∞].

Теорема Ферма

Функция y=f(x), которая удовлетворяет условиям:

1. Она дифференцируема на промежутке Х.

2. Она достигает своего наибольшего значения во внутренней точке х₀ЄХ

=> f’(x₀)=0

Доказательство:

Предположим, что функция y=f(x) во внутренней точке х₀ЄХ принимает наименьшее значение, т.е. получаем f(x₀+Δx)≥f(x₀), если х₀+ΔхЄХ. Найдем Δy=f(x₀+Δx)≥f(x₀) => Δy/Δx: ≥0, если Δх>0; ≤0,если Δx<0.

Т.к. функция y=f(x) – дифференцируема на промежутке Х, а следовательно и в точке х₀ЄХ =>существует limΔy/Δx=

• =limΔy/Δx≥0

• =limΔy/Δx≤0

=> lim Δy/Δx = lim Δy/Δx = lim Δy/Δx = 0, т.е. y’(x₀)=0

Теорема Ролля (о корнях производной).

Функция y=f(x)

1. непрерывна на отрезке [a;b]

2. функция дифференцируема на интервале (a;b)

3. на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)=f(b)

=> существует хотя бы одна точка сЄ(a;b): f’(c)=0

Доказательство:

По теореме Вейерштрассе функция, непрерывная на отрезке [a;b], достигает своего min и max значения на этом отрезке.

1случай: min f(x)=max f(x)=f(a)=f(b) => функция y=f(x) – const [a;b]

Т.к. c’=0, то y’=0 в любой точке xЄ[a;b].

2случай: min или max достигается внутри отрезка, т.е. существует точка с, в которой функция достигает min или max. По теореме Ферма f’(x)=0.

Теорема Лагранжа (о конечных приращениях).

Функция y=f(x)

1. непрерывна на отрезке [a;b]

2. дифференцируема на интервале (a;b)

=> существует хотя бы одна точка сЄ(a;b): f’(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

Доказательство:

g(x)=f(x)-[(f(b)-f(a))(x-a)]/(b-a)

g(a)=f(a)

g(b)=f(b)-[(f(b)-f(a))(b-a)]/(b-a)=f(b)-f(b)+f(a)=f(a)

Функция g(x) на концах отрезка [a;b] принимает одинаковые значения равные f(a). Рассматриваемая функция g(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля => существует точка сЄ(a;b): g’(x)=0

g’(x)=f’(x)-[(f(a)-f(b))1]/(b-a)

g’(c)=f’(c)-[f(b)-f(a)]/(b-a)=0 => f’(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

Правило Лопиталя-Бернулли раскрытия неопределенностей вида [0/0] и [∞/∞].

Предел отношения бесконечно малой и бесконечно большой функции равен пределу отношений их производных (конечному или бесконечному), если конечный предел существует.

lim f(x)/g(x)=[0/0 или ∞/∞]=lim f’(x)/g’(x).