|
16.
Первый и второй замечательные пределы,
следствия из них.
|
I
замечательный
предел
|
II
замечательный предел
|
|
lim
[sin x/x]=1
|
lim
[x/sin x]=1
|
lim
(1+x)1/x=e
|
lim
(1+1/x)x=e
|
|
Следствия.
|
Следствия.
|
|
1.
lim [tg x/x]=1
|
lim
[x/tg x]=1
|
1.
Lim [(ex-1)/x]=1
|
Lim
[x(e1/x-1)]=1
|
|
2.
lim [arcsin x/x]=1
|
lim
[x/arcsin x]=1
|
Lim
[(ax-1)/x]=ln
a
|
Lim
[x(a1/x-1)]=ln
a
|
|
3.
lim [arctg x/x]=1
|
lim
[x/arctg x]=1
|
2.
lim
[ln(1+x)/x]=1
|
Lim
[xln(1+1/x)]=1
|
|
|
|
Lim
[loga(1+x)/x]=1/lna
|
Lim
[xloga(1+1/x)=1/lna=logae
|
|
19.
Точки разрыва функций, их классификация.
Функция
y=f(x)
в точке х0
имеет разрыв, если она не является
непрерывной в точке х0,
если:
-
функция
y=f(x)
ограничена в точке х0
и некоторой ее окрестности;
-
существует
конечный предел функции f(x):
lim
f(x)
существует lim
f(x)=lim
f(x)
-
этот
предел равен значению функции в точке
х0:
lim
f(x)=f(x0).
Функция
y=f(x)
в точке х0
имеет разрыв, если нарушено хотя бы
одно из трех условий в определении
непрерывности функции.
Опр.:
Точка х0
называется точкой разрыва функции
y=f(x),
если функция y=f(x)не
является непрерывной.
Классификация
точек разрыва функций.
|
Оба
односторонних предела lim
f(x)
и lim
f(x)
существуют и являются конечными =>
точка х0
– точка разрыва I
рода.
При
условии, что либо функция не определена
в точке х0,
либо эти односторонние пределы не
равны между собой.
|
По
крайней мере один из односторонних
пределов не существует или равен
бесконечности, тогда точка х0
называется точкой разрыва II
рода.
|
|
Функция
в точке х0
не определена, но lim
f(x)=lim
f(x)
=> точка х0
– точка устранимого разрыва
|
В
точке х0
существуют конечные пределы lim
f(x)
и lim
f(x),
но они не равны => точка х0
– точка неустранимого разрыва или
точка скачка.
|
|
|
Интегралы основных
элементарных функций: ∫0dx=c,
c=const
|
∫1dx=∫dx=x+c
|
∫sin
x dx= -cos x+c
|
∫dx/(a2+x2)=∫[1/(a2+x2)]dx=1/a
arctg(x/a)+c, a≠0
|
|
∫xndx=[xn+1/(n+1)]+c
|
∫cos
x dx= sin x +c
|
∫dx/(1+x2)=arctg
x +c
|
|
∫x-1dx=∫dx/x=ln|x|+c
|
∫dx/cos2x=∫[1/cos2x]dx=tg
x+c
|
∫dx/√(a2-x2)
= arcsin x/a +c
|
|
∫axdx=[ax/lna]+c;a>0;a≠1
|
∫dx/sin2x=
∫ [1/sin2x]dx=
-ctg x+c
|
∫dx/√(1-x2)
= arcsin x +c
|
|
∫exdx=ex+c
|
∫dx/√(x2±a2)=ln|x+√(x2±a2)+c,a≠0
|
∫dx/(x2-a2)
= 1/(2a) ln|(x-a)/(x+a)|+c, a≠0
|
|
24.
Таблица производных основных
элементарных функций.
|
c’=0
x’=1
|
(sin
x)’= cos x
|
(arcsin
x)’= 1/√(1-x2)
|
(ax)’=
ax
ln
a
|
|
(xn)’=nxn-1
|
(cos
x)’= -sin x
|
(arccos
x)’ = -1/√(1-x2)
|
(ex)’
= ex
|
|
(√x)’=1/2√x
|
(tg
x)’= 1/cos2x
|
(arctg)’
= 1/(1+x2)
|
(logax)’=1/(x
ln a) = (logae)/x
|
|
(1/x)’=
-1/x2
|
(ctg
x)’= -1/sin2x
|
(arcctg)’
= -1/(1+x2)
|
(ln
x)’ = 1/x
|
|
