Билеты по матану

Комплексные числа.

1. Алгебраическая форма записи комплексного числа, действия с комплексными числами в алгебраической форме.

2. Модуль и аргумент комплексного числа, тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа. Действия с комплексными числами в тригонометрической и показательной форме. Формула Муавра, формула Эйлера. Извлечение корня из комплексного числа.

Пределы.

3. Множество рациональных чисел, множество иррациональных чисел.

4. Множество действительных (вещественных) чисел, числовая ось, интервалы, окрестности точек, точные нижняя и верхняя грани множества.

5. Понятие числовой последовательности, примеры. Ограниченные и неограниченные числовые последовательности, бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности. Cвязь бесконечно большой и бесконечно малой числовой последовательности.

6. Предел числовой последовательности, геометрический смысл предела последовательности.

7. Основные свойства пределов последовательностей (предел постоянной, единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности).

8. Арифметические свойства сходящихся последовательностей. Теорема о сохранении знака. Теорема о предельном переходе в неравенстве. Теорема о пределе промежуточной последовательности.

9. Критерий существования предела последовательности (Теорема о связи предела последовательности и бесконечно малой)

10. Монотонные последовательности, теорема Вейерштрасса о сходимости монотонной последовательности.

11. Теорема Больцано-Вейершрасса о подпоследовательности.

12. Число «е» как предел числовой последовательности (1+1/n)n при n.

13. Различные типы стремления действительного аргумента и соответствующие им семейства окрестностей. Определение предела функции при произвольном стремлении аргумента, односторонние пределы. Геометрическая иллюстрация для различных типов стремления.

14. Основные теоремы о пределах: единственность предела; локальная ограниченность функции, имеющей предел; сохранение функцией знака своего предела; о предельном переходе в неравенстве; о пределе промежуточной функции. Пример функции не имеющей предела в точке.

15. Арифметические свойства пределов функций.

16. Бесконечно малые функции. Связь функции, ее предела и бесконечно малой. Свойства бесконечно малых функций. Бесконечно большие функции, их связь с бесконечно малыми функциями.

17. Первый и второй замечательные пределы.

Непрерывность функции и точки разрыва.

18. Непрерывность функции в точке, равносильные формулировки. Арифметические свойства непрерывных функций (непрерывность суммы, произведения, частного и композиции непрерывных функций). Непрерывность основных элементарных функций.

19. Непрерывность функции на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке (ограниченность непрерывной на отрезке функции, теорема Вейерштрасса, теорема Больцано-Коши о промежуточном значении (нуле) функции).

20. Точки разрыва функций, их классификация.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

21. Производная функции в точке, ее физический смысл. Касательная, геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке.

22. Бесконечная производная. Односторонние производные. Дифференцируемость функции в точке, эквивалентность дифференцируемости существованию в точке конечной производной. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

23. Основные правила дифференцирования: производная постоянной, суммы, произведения и частного. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

24. Таблица производных основных элементарных функций.

25. Понятие о производных высших порядков.

26. Дифференциал функции, его геометрический смысл.

27. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида [0/0] и [/].

28. Формула Тейлора. Формула Маклорена для основных элементарных функций.

Приложение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению графиков.

29. Возрастание и убывание функции, определения, достаточные и необходимые условия. Экстремум функции, определения, необходимое (теорема Ферма) условие, достаточное условие, условие существования локального экстремума функции. Схема исследования дифференцируемой функции на экстремум с помощью первой и второй производной. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

30. Выпуклость и вогнутость функции, определения. Точки перегиба функции, определение, достаточные и необходимые условия. Схема исследования дифференцируемой функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба с помощью второй производной.

31. Асимптоты графика функции, определение, виды асимптот, условия существования наклонных асимптот, способы нахождения.

32. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

Интегральное исчисление функций одной переменной. Неопределенный интеграл.

33. Первообразная и неопределенный интеграл. Теорема о первообразных. Геометрический смысл неопределенного интеграла, свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций.

34. Методы интегрирования: метод замены переменной (способ подстановки), метод интегрирования по частям, интегрирование рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов).

Определенный интеграл.

35. Определенный интеграл, достаточные условия существования определенного интеграла, свойства определенного интеграла, теорема о среднем.

36. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница для определённого интеграла. Формула замены переменной в определенном интеграле, формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

37. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования, примеры. Несобственные интегралы от неограниченных функций, пределы. Признак сравнения для исследования сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования и несобственных интегралов от неограниченных функций.

38. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоской фигуры, вычисление объема тела вращения, вычисление длины дуги кривой, вычисление площади поверхности тела вращения.

39. Экономический смысл производной. Эластичность функции.

40. Использование понятия определённого интеграла в экономике.