Математика. Шпоры

14.Линейные однородные ОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера нахождение решений. Характеристический многочлен.

Случай

Линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»^[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривойкусочно линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.

Описание метода

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка

где функция f определена на некоторой области . Решение разыскивается на интервале (x₀,b]. На этом интервале введем узлы

Приближенное решение в узлах x_i, которое обозначим через y_i определяется по формуле

Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Оценка погрешности

Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция f непрерывна в D и непрерывно дифференцируема по переменной y в D, то имеет место следующая оценка погрешности

где h — средний шаг, то есть существует C > 0 такая, что .

Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН

матрицы  над полем К - многочлен над полем К

Степень X. м. равна порядку квадратной матрицы А, коэффициент b₁ равен следу матрицы .(b₁ = tr A = a₁₁+ а ₂₂+ .. . +а _пп),коэффициент b _т равен сумме всех главных миноров т- гопорядка, в частности b_n=detA. Уравнение  наз. характеристическим уравнением матрицы А, или вековым уравнением.  Корни X. м., лежащие в К, наз. характеристическими значениями или собственными значениями матрицы А. Если К - числовое поле, употребляются также термины лхарактеристические числа

частности b_n=detA. Уравнение  наз. характеристическим уравнением матрицы А, или вековым уравнением.  Корни X. м., лежащие в К, наз. характеристическими значениями или собственными значениями матрицы А. Если К - числовое поле, употребляются также термины лхарактеристические числа