1.4. Основные понятия и этапы математического моделирования

1.4.1. А.А. Самарский отмечал, что математическое (компьютерное) моделирование представляет собой развитие и обобщение естественнонаучных методов исследования, соединенных с современной информационной технологией. В случае использования метода математического моделирования процесс познания и управления может быть выражен с помощью следующей схемы: объект  модель  алгоритм  программа  ЭВМ  управление объектом. А поскольку математическая модель  главное звено этой схемы, то разработка адекватной модели* и последующее экспериментирование с нею на основе выполнения многовариантных компьютерных расчетов может обеспечить органичное сочетание сильных сторон теоретических методов и натурных экспериментов [4].

В полной мере сказанное относится к применению математического моделирования в области анализа социально-экономических процессов, где значение вычислительных экспериментов (многовариантных расчетов) еще более возрастает. Последнее обусловлено тем, что в этих областях науки проведение натурных экспериментов либо сильно ограничено, либо невозможно из-за необратимости изучаемых процессов.

________________

*Адекватность модели  соответствие (неполное) модели моделируемому объекту по тем его свойствам, которые считаются существенными для исследования.

1.4.2. Несмотря на все преграды, как объективные, так и субъективные, к настоящему времени в экономической теории прочно закрепились модель поведения потребителей, модель фирмы, модель конкуренции фирм на рынке товаров, многие другие ключевые модели экономики.

В науке понятие “модель” означает некоторый условный образ объекта исследования. Простейшими примерами моделей служат географическая карта, фотография и даже игрушечный автомобиль. Если модель и объект моделирования имеют некоторые общие свойства, то возникает возможность изучения объекта на основании исследования модели.

При этом в зависимости от конкретной цели модель может быть более или менее точной. Например, при анализе аэродинамических свойств автомобиля существенно, чтобы форма модели соответствовала форме этого автомобиля, а при проектировании гаража в качестве модели автомобиля достаточно использовать параллелепипед, т.к. в этом случае достаточно знать лишь его длину, ширину и высоту.

При исследовании экономических объектов (процессов) также возможно применение натурных моделей. Так, например, поток денег и товаров в реальной экономике можно, в принципе, моделировать при помощи сложной системы труб и резервуаров, в которой потоки воды имитируют движение этих объектов. К сожалению, такое моделирование не может отразить все принципиальные особенности изучаемого процесса.

Частным видом моделей являются математические модели, которые отражают объект (процесс) с помощью математической символики. Исследование изучаемого объекта (процесса) на основе изучения свойств его математической модели составляет суть метода математического моделирования. При этом, как правило, при анализе сложных процессов невозможно ограничиться аналитическими методами: требуется разрабатывать компьютерные модели для выполнения вычислительных экспериментов. В развитие этого направления исследований существенный вклад внесли российские ученые А.А. Дородницын, Л.В. Канторович, М.В. Келдыш, Н.Н. Моисеев, В.С. Немчинов, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов и др.

1.4.3. Важнейшую роль при использовании метода математического моделирования играет информация. Об этом говорит, например, определение модели, данное Н.Н. Моисеевым:

“…под моделью мы будем понимать упрощенное, если угодно, упакованное знание, несущее вполне определенную, ограниченную информацию о предмете (явлении), отражающее те или иные его отдельные свойства. Модель можно рассматривать как специальную форму кодирования информации. ...Можно сказать, что модель содержит в себе потенциальное знание, которое человек, исследуя ее, может приобрести” [19].

Это определение отражает следующий существенный факт: применение метода математического моделирования может быть эффективным лишь тогда, когда в модели будет “закодирована” информация, которую исследователи до ее анализа не знали. Рассмотрим это свойство модели на простейшем примере из школьного учебника физики задаче о движении тела, брошенного под углом к горизонту.

Пример. Под некоторым углом к горизонту брошен камень. Как он будет перемещаться? Когда упадет на землю?

Без всякой математической модели понятно, что камень (в дальнейшем будем называть его, как это принято в физике, физическим телом, или просто телом) сначала будет подниматься, достигнет некоторой высоты, после чего начнет снижаться. Таким образом, это тело какое-то время будет находиться в полете, но, в конце концов, упадет на некотором расстоянии от исходной точки. Что дает математическая модель? Оказывается, что даже простая модель этого физического процесса позволяет получить количественные оценки траектории движения.

Для построения математической модели сделаем следующие допущения. Во-первых, будем считать, что тело имеет бесконечно малые размеры, вследствие чего сопротивлением движению, которое оказывает воздух, можно пренебречь. Во-вторых, предположим, что поверхность Земли представляет собой плоскость (это допущение оправдано ввиду того, что дальность полета много меньше радиуса Земли). В-третьих, будем считать, что единственная сила, которая действует на тело, это сила земного притяжения, которая постоянна и все время направлена перпендикулярно поверхности. В-четвертых, будем считать, что тело все время остается в одной и той же плоскости (таким образом, мы пренебрегаем вращением Земли). Сделанные допущения – концептуальная основа для построения математической модели движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Рис.1. 1. Траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту

Из сказанного следует, что рассматриваемое тело мы заменяем точкой, которая перемещается в некоторой плоскости ( рис. 1.1). Будем считать также, что начало системы координат совпадает с начальной точкой траектории, ось направлена вертикально вверх, а ось в сторону движения тела перпендикулярно оси . Пусть, кроме того, начальная скорость тела (точки) равна , а угол, который образует вектор скорости с осью в начальный момент времени, равен . Тогда продолжительность полета будет равна

,

а для координат и точки в момент времени в силу второго закона Ньютона получаем

(1.1)

где ускорение свободного падения.

Уравнения (1.1) задают траекторию движения тела (зависимость от ) параметрически: в любой момент времени мы можем определить его координаты и по формулам (1.1).

Если исключить параметр из уравнений (1.1), то мы получим явное уравнение траектории движения тела

, (1.2)

где

,

а дальность полета определяется формулой

(1.3)

Графиком функции (1.2) служит парабола, ветви которой направлены вниз (рис. 1.1 и 1.2).

Из уравнения (1.3) следует, что при одной и той же скорости бросания дальность полета пропорциональна и, следовательно, имеет место неравенство

Рис.1.2. Зависимость траектории полета от угла бросания

.

При этом максимальная дальность полета достигается при (в этом случае ).

Отметим также, что из уравнения (1.2) можно получить уравнение для максимальной высоты подъема тела:

. (1.4)

Из формулы (1.4) следует, что высота подъема тела монотонно возрастает при увеличении угла от 0⁰ до 90⁰, в то время как дальность полета тела, в силу (1.3), при увеличении растет, если , и сокращается, если . Это свойство модели демонстрируется на рис. 1.2, где изображены четыре траектории тела, брошенного из одной и той же точки с одной и той же скоростью при различных значениях угла . Обратите внимание: дальность полета в случаях (1) и (3) одинакова, хотя траектория (1) лежит ниже траектории (3).

Построенная модель позволила определить количественные и качественные характеристики траектории движения. Приведем основные выводы из анализа этой модели:

1) траектория движения представляет собой дугу параболы (1.2);

2) дальность полета определяется формулой (1.3);

3) максимальная дальность полета достигается при

Эти выводы то самое “новое знание”, которое дала нам математическая модель.

Завершая обсуждение этой простой модели, отметим ключевую роль гипотез, лежащих в ее основе. Можно показать, например, что если учесть размеры Земли и принять, что сила тяжести направлена к ее центру, где сосредоточена вся масса Земли, и эта сила определяется законом всемирного тяготения, то тогда при начальной скорости, не превышающей первую космическую, траекторией движения будет дуга эллипса АВС, один из фокусов которого совпадает с центром Земли (рис. 1.3). При этом траектория будет пересекать ее поверхность (на рис. 1.3 ‑ в точках А и С).

Рис.1.3. Траектория движения с учетом сферичности Земли

Различия в характере решений связаны с изменением концептуальной модели рассматриваемого процесса и, как следствие, с использованием иной математической модели. Однако различия решений (траекторий движения), полученных на основе этих двух моделей параболы и эллипса будут существенными лишь при больших значениях начальной скорости , когда дальность полета , полученная по формуле (1.3), станет соизмеримой с радиусом Земли. Поэтому при малых скоростях полученная параболическая траектория практически не будет отличаться от эллиптической (участок ABC эллипса на рис. 1.3), полученной на основе более точной модели, учитывающей сферичность Земли и зависимость вектора силы тяжести от положения тела.

Рассмотренный пример имеет самое непосредственное отношение к проблеме моделирования сложных экономических объектов: здесь также существуют факторы, пренебрежение которыми позволяет, тем не менее, исследовать механизмы развития объекта и получить оценки траектории развития. Например, при моделировании развития национальной экономики часто используются производственные функции, которые отражают связь таких факторов, как труд и капитал (основные производственные фонды). Макроэкономические модели позволяют в ряде случаев оценить перспективные значения показателей национальной экономики, хотя используемые в них допущения не учитывают такие реалии, как труд разной производительности, интенсивности, квалификации, структура используемых основных производственных фондов, структура инвестиций и т. д.

1.4.4. Математическое моделирование представляет собой процесс, в котором можно выделить (условно) четыре основных этапа [4, 58].

Первый этап (исходная постановка, построение концептуальной модели). На этом этапе, исходя из цели исследования, строится концептуальная модель, формулируются законы (гипотезы), устанавливающие определенные качественные и количественные связи между элементами модели.

Задача построения модели решается как компромисс между сложностью описания изучаемого объекта (детализацией), которая в большой степени зависит также и от цели исследования, и минимизацией ресурсов (усилий) для получения ответов на вопросы, которые стоят перед разработчиками модели. Вопрос о степени адекватности разрабатываемой модели (см. сноску на стр. 21) является центральным. Для построения адекватной математической модели требуются широкие знания фактов, относящихся к изучаемому процессу, глубокое проникновение в его теорию, анализ статистической и иной информации, отражающей функционирование объекта исследования. Поэтому на первом этапе особенно важно сотрудничество специалистов различных направлений науки.

Необходимость такого сотрудничества обусловлена тем, что степень адекватности разрабатываемой модели зависит, прежде всего, от этого этапа: именно здесь происходит определение структуры модели, здесь устанавливаются взаимосвязи между ее элементами, здесь закладываются основы математической задачи. В результате сотрудничества специалистов различных направлений (экспертов) строится концептуальная модель объекта, учитывающая его основные свойства.

Уровень адекватности математической модели и границы применимости результатов моделирования в большой степени зависят от допущений, используемых при построении соответствующей концептуальной модели. К сожалению, приходится констатировать следующее: характерным недостатком изложения экономико-математических моделей является нечеткое обсуждение ключевых гипотез. Этот центральный при построении моделей вопрос даже в учебной литературе излагается зачастую весьма поверхностно.

Например, в учебнике П. Самуэльсона “Экономика”, являющемся экономической классикой, на страницах, посвященных паутинообразной модели рынка товара, читаем:

“...конкурентная продукция ...предлагается на рынке обычным путем, когда P можно получить, проведя вертикальную линию от любой точки, обозначающей Q, до кривой спроса DD” [59].

Что это? Небрежность автора или искажение при переводе? Кто и где предлагал продукцию, “...проведя вертикальную линию”? Процитированное высказывание  яркий пример небрежного описания модели, имеющей, как мы увидим ниже, принципиальное значение для понимания действия рыночных механизмов. Отметим, что приведенная цитата выражает всего лишь алгоритм определения максимального значения цены, при которой весь товар может быть продан на рынке, а вовсе не гипотезу о предложении товара.

Второй этап (построение первоначальной математической модели). На этом этапе происходит формализация гипотез, сформулированных при построении концептуальной модели. Это выражается записью в математических терминах количественных (и качественных) представлений о связях между объектами (подсистемами) концептуальной модели. Подчеркнем, что эти взаимосвязи устанавливаются на основе принятых гипотез, вследствие чего один и тот же процесс в зависимости от используемых предположений может описываться различными математическими моделями.

Третий этап (исследование модели). На этом этапе выполняется анализ математических задач, к которым приводит построенная модель.

В этих задачах могут формулироваться, например, вопросы выбора наилучшего в некотором смысле варианта из некоторого набора на основе детерминированного или стохастического подходов. Основным вопросом здесь является получение теоретических следствий из тех гипотез, которые были заложены в концептуальную модель. На этом этапе центр тяжести исследований переносится на решение математических проблем с использованием соответствующего математического аппарата и вычислительной техники. Применение компьютеров приобретает принципиальное значение при анализе сложных математических задач, исследование которых аналитическими методами часто невозможно и осуществляется на основе использования численных методов и вычислительных экспериментов.

На основе исследования модели делаются выводы о свойствах изучаемого процесса (объекта). На этом этапе происходит выяснение того, в какой степени согласуются существующие представления разработчиков об изучаемом объекте с теоретическими следствиями его модели.

При анализе соответствия принятой модели критерию практики следует говорить, во-первых, о непротиворечивости результатов анализа модели первоначальным представлениям разработчиков об объекте, и, во-вторых, об обосновании возможности использования модели как источника новой информации об объекте (вспомним: модель должна нести новое знание). Если результаты анализа модели противоречат представлениям об объекте, то делается вывод либо о неадекватности модели изучаемому процессу (в этом случае модель отклоняется), либо о необходимости пересмотра первоначальных представлений об объекте.

Здесь следует особо подчеркнуть, что “правдоподобное” изменение переменных модели необходимое, но далеко не достаточное условие адекватности модели. Пренебрежительное отношение к анализу гипотез моделей часто приводит к тому, что для анализа социально-экономических процессов и принятия ответственных “судьбоносных” решений используются модели (модельные представления), неадекватно отражающие эти процессы. Это происходит, например, тогда, когда единственным критерием адекватности модели оказывается “правдоподобное” изменение ее переменных.

К сожалению, такое же “обоснование” выводов можно обнаружить и в литературе по экономической теории. Например, в макроэкономике часто делается вывод об адекватном описании механизма возникновения колебаний национального дохода в модели делового цикла Самуэльсона   Хикса на том лишь основании, что при определенных значениях параметров этой модели значения национального дохода изменяются циклически (см., например, [60]). Однако существуют различные модели макроэкономики, в которых используются другие гипотезы о природе колебаний национального дохода и которые тоже обладают свойством цикличности. Поэтому вопрос о степени адекватности моделей не может решаться формально, на основании прямолинейного понимания принципа “соответствия теории практике ”.

Четвертый этап (модернизация модели). В случае признания модели неадекватной изучаемому процессу ее гипотезы уточняются, и строится новая модель. Обычно не удается построить адекватную математическую модель и подобрать точные ее параметры с первого шага даже при анализе сравнительно простых процессов.

Построение новой модели осуществляется на основе всестороннего изучения старой модели, анализ которой может привести к изменению представлений исследователей о характере взаимовлияния различных факторов, что, в свою очередь, приводит к необходимости пересмотра гипотез модели и даже полной замене некоторых из них. Поэтому процесс математического моделирования носит, как правило, многошаговый характер, а одному объекту (процессу) может соответствовать целый набор моделей, отражающих различные его свойства.

Еще раз обратим внимание читателя на условность разделения процесса математического моделирования на четыре этапа. При более детальном рассмотрении этого процесса можно выделить, например, пять этапов [12]:

1) составление модели;

2) проверка замкнутости, формирование и программирование процедур вычисления внутренних характеристик при известных внешних характеристиках;

3) идентификация (калибровка) модели, т.е. определение ее внешних характеристик;

4) верификация модели, т.е. определение условий и границ ее адекватности;

5) эксплуатация модели, т.е. выполнение акций анализа (извлечения следствий из соотношений модели) и прогноза моделируемого процесса (системы, явления)