1.3. Из истории экономико-математического моделирования

1.3.1. Возникновение математики изначально связано с потребностями практики. В древнем мире и в средние века достаточно было знать простейшие математические приемы (например, для решения задачи об измерении площади засеянного поля и оценки будущего урожая). Однако в последние два три столетия решение различных задач естествознания, в основном, физики и ее технических приложений, потребовало разработку современных математических методов анализа (прежде всего, дифференциального и интегрального исчисления, линейной и векторной алгебры, теории вероятностей, теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории функций комплексного переменного).

Г. Лоренц отмечал, что к использованию математики в естествознании призывал еще в 1267 г. Р. Бэкон [25]. Вот какие требования предъявлял Р. Бэкон к научной теории:

“… у нас в руках три средства познания: авторитет, мышление и опыт. Авторитет не имеет значения, если справедливость его не может быть доказана: он не учит, он требует только согласия. При мышлении мы обыкновенно отличаем истинный аргумент от ложного, проверяя вывод опытом. Экспериментальная наука испытывает и проверяет выводы других наук, она исследует тайны природы собственными силами” [25].

Р. Бэкон пытался убедить читателя, что все науки, в сущности, основаны на математике, что они прогрессируют лишь тогда, когда их основные положения выражены в математической форме, что

“…математика есть азбука натуральной философии, <…> будучи самой легкой, она представляет введение к более трудным наукам” [25].

Идеи Р. Бэкона, лежат в основе современного естествознания. Однако в те далекие годы они не могли не раздражать его оппонентов, а резкость некоторых его высказываний только придавала им силы в борьбе с научным подходом к изучению природы. В качестве примеров “недипломатичных” высказываний Р. Бэкона приведем следующие:

“она <математика> одна может очистить разум и сделать учащегося способным к восприятию знания”[25];

“…тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества”[26].

Как пишет Г. Лоренц, взгляды Р. Бэкона

“… были так далеко впереди его времени, что не нашли не только признания, но даже и понимания со стороны современников. … и только поздние потомки отдали справедливость мыслителю”[25].

Позже мысль Р. Бэкона о значении математики разделяли многие выдающиеся мыслители. Процитируем только трех из них.

Леонардо да Винчи (XV в.): “Никакое человеческое исследование не может претендовать на название истинной науки, если оно не пользуется математическими доказательствами” [27].

И. Кант (XVIII в.): “… в каждой отрасли учения о природе мы имеем науку постольку, поскольку встречаем в ней математику” [25].

К. Маркс (XIX в.): “… наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой”[28].

С конца XIX в. происходило настойчивое проникновение математических методов в гуманитарные науки и, в частности, в экономику. Однако недооценка применения математических методов в гуманитарных науках была характерной, по-видимому, для большей части XX века. Например, английский экономист А. Маршалл не видел особых преимуществ в использовании математики в экономических исследованиях. В своем фундаментальном труде он отмечал, что

“...подготовка в области математики полезна тем, что она позволяет овладеть максимально сжатым и точным языком для ясного выражения некоторых общих отношений и некоторых коротких процессов экономических рассуждений, которые действительно могут быть выражены обычным языком, но без равноценной четкости схемы” [29].

Здесь следует заметить, что А. Маршалл, несмотря на двусмысленность приведенных выше слов (математика вроде бы и полезна, но можно обойтись и без нее), весьма широко использовал в своих работах аппарат дифференциального исчисления, а К. Маркс, высоко оценивавший значение математических методов в экономике, ограничивался преимущественно арифметическими примерами.

И. Экланд, автор одной из первых книг по математической экономике, переведенной на русский язык, высказал такое мнение:

“...экономика стремится стать математической, потому что со времен Декарта математизация стала идеалом строгости для всякой науки” [30].

Эти слова ни в коей мере не следует понимать в том смысле, что математизация экономической науки  самоцель. Все гораздо проще: проникновение математики в экономику (как и в социологию, историю, психологию и другие гуманитарные науки), в большой степени связано с тем, что, как оказалось, анализ многих социально-экономических процессов не может быть выполнен без использования математических моделей, хотя, после осмысления, полученные результаты часто выражаются и интерпретируются на обычном языке, и зачастую становятся “очевидными” и “само собой разумеющимися”.

Поэтому применение математики в экономической науке  объективный этап ее развития, связанный с существованием устойчивых количественных закономерностей (тенденций) и возможностью формализованного описания многих (хотя и не всех) экономических процессов.

Уровень и глубина проникновения математики в любой науке изменяются со временем. Согласно современным представлениям развитие всех наук происходит по единой схеме, включающей несколько периодов. А.А. Дородницын выделял четыре таких периода: 1) описательный период; 2) период упорядочения и систематизации накопленной информации; 3) период выявления и установления связей и соотношений; 4) период “точный”, в котором для анализа различных объектов применяется математическое моделирование [31].

В настоящее время к точным наукам относят математику и естествознание, а все остальные науки до сих пор остаются преимущественно описательными (по классификации Н.Н.Моисеева в этих науках изучаются простые и сложные процессы соответственно).

1.3.2. Принято считать, что количественные методы анализа в экономической науке стали применяться в XVII веке, когда развитие общественного производства вызвало потребность совершенствования методов статистического учета. Основы статистики как науки были заложены английским экономистом У. Петти, опубликовавшим в 1676 г. трактат “Политическая арифметика”. Оценивая в нем величину имущества Англии, он, в частности, установил, что общее количество денег составляло тогда менее 3% совокупной собственности. У. Петти утверждал, что результаты изучения экономики должны выражаться

“…на языке чисел, весов и мер, … рассматривая только причины, имеющие видимые основания в природе” [34, 116, 117].

Позже математика как метод анализа макроэкономических процессов была использована лейб-медиком короля Людовика XV доктором Ф. Кенэ, который в 1758 г. опубликовал “Экономическую таблицу”. В этой работе сделана первая попытка построить схему взаимосвязи трех основных классов (производители-фермеры, землевладельцы и ремесленники). В "Экономической таблице" обсуждается схема движения продукта в виде годового оборота в масштабе всего общества. Идеи Ф. Кенэ позже получили развитие в схемах воспроизводства К. Маркса и в моделях народнохозяйственного баланса [32, 33, 34].

В конце XVIII в. английский ученый Т.Мальтус в работе “Опыт о законе народонаселения” (1798 г.) использовал математику при обосновании концепции, согласно которой численность населения строго ограничена средствами существования [35, 36]. Предполагая, что продовольственные ресурсы растут благодаря усилиям, предпринимаемым людьми из-за инстинктивного стремления к продолжению рода, он пришел к выводу, что, тем не менее, рост средств существования отстает от роста населения. Для подкрепления своей аргументации он утверждал, что рост численности населения определяется геометрической прогрессией, а рост производства продовольствия арифметической. По Мальтусу, рост народонаселения может быть остановлен либо нравственными причинами (воздержание), либо несчастьями (голод, войны, эпидемии и т.д.).

Позже динамические модели биологии, демографии, экономики и некоторых других наук, в которых для описания динамики переменной используются либо геометрическая прогрессия, либо экспоненциальная функция, стали называть моделями Мальтуса, а уравнение, отражающее постоянство темпа прироста уравнением Мальтуса.

Несмотря на то, что и Т. Мальтус, и Ф. Кенэ применяли математику, в их работах еще не используется понятие математической модели в современном значении (напомним: математическая модель  это упрощенное описание некоторого объекта, отражающее в математической форме важнейшие его свойства и предназначенное для получения новой информации о нем).

Математическое моделирование заявило о себе как о методе анализа социально-экономических процессов в XIX в. Первое логически последовательное изложение математической модели экономики было выполнено французским математиком А.-О. Курно в книге “Исследование математических принципов теории богатства”, опубликованной в 1838 г. [37]. В этой работе количественные методы были использованы для анализа конкуренции на рынке товара при различных рыночных ситуациях. А.-О. Курно ввел понятие функции спроса от цены, сформулировал основы математического аппарата теории фирмы, показал, что максимум прибыли достигается при условии равенства предельных издержек предельному доходу.

А.-О. Курно заложил основы не только теории фирмы и монополии, но и дуополии (рыночной ситуации, при которой на рынке соперничают два продавца). В модели дуополии Курно, которая описывается разностными уравнениями, каждая конкурирующая фирма принимает свое решение о выпуске продукции из условия максимально возможной прибыли при предполагаемых действиях конкурента.

Книга А.-О. Курно осталась незамеченной, также как и работы некоторых других исследователей того времени (П.-Ф. Ферхюльста, Ж. Дюпюи, Г. Госсена), применявших при анализе социальных процессов (экономических и демографических) предельные величины с использованием аппарата дифференциального исчисления [1, 34, 38].

Сейчас А.-О. Курно называют предтечей математического направления в политической экономии (экономической теории) [38]. В Энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона (универсальная энциклопедия, выпущенная в Петербурге акционерным издательским обществом Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона в 1890 1907 гг.), сказано, на наш взгляд, более точно: А.-О. Курно родоначальник математического направления в политической экономии [39]. 

О вкладе А.-О. Курно в развитие математического моделирования экономики замечательно сказал в предисловии своей книги “Принципы экономической науки” А. Маршалл:

“...когда приходится использовать слишком много символов, разбирать их становится трудно всем, кроме самого автора. Правда, гений Курно должен придать новый стимул умственной деятельности всех, кто испытывает на себе влияние его трудов, а равные ему по уровню математики в состоянии использовать свое излюбленное оружие, чтобы пробить себе дорогу к самой сути тех труднейших проблем экономической теории, которые до сих пор затрагивались весьма поверхностно” [29].

Во второй половине XIX в. математическое направление стало активно развиваться в экономике. В опубликованных тогда книгах У. Джевонса “Теория политической экономии” (1871 г., Германия), К. Менгера “Основания политической экономии” (1871 г., Австрия) и Л. Вальраса “Элементы чистой политической экономии” (1874 г., Швейцария) были заложены основы современной экономической теории. К началу XX века усилиями Дж. Б. Кларка (США), В. Парето (Швейцария), А. Маршалла и Ф. Эджворта (Великобритания) и др. классическая экономическая наука была переведена на строгий математический язык. Поэтому начало ХХ века можно считать периодом, когда математическое моделирование окончательно утвердилось в экономике как науке [34, 40].

Удивительный исторический факт: в том же 1838 г., когда была опубликована ставшая впоследствии знаменитой работа А.-О. Курно [37], бельгийский математик П.-Ф. Ферхюльст опубликовал статью “Замечания о законе, согласно которому происходит рост населения” [41]. В ней П.-Ф. Ферхюльст построил дифференциальное уравнение, названное им логистическим, для прогнозирования численности населения. Введенный им в уравнение Мальтуса дополнительный отрицательный член, пропорциональный квадрату численности населения, отражает линейное уменьшение темпа прироста численности при увеличении последней.

П.-Ф. Ферхюльст является, по-видимому, первым ученым, применившим дифференциальные уравнения в социальных науках для анализа и прогнозирования динамического процесса [42]. Построенные демографические модели позволили ему получить значение верхней границы численности населения Бельгии, равное 9,4 млн. чел. Несмотря на существенное упрощение реальности, эта грубая оценка с высокой точностью соответствует современной численности: согласно статистическим данным население Бельгии составляло на июль 2009 г. около 10,4 млн. граждан (расхождение около 10%) [43].

Работа Ферхюльста, как и работа Курно, не была по достоинству оценена современниками. Позже, однако, выяснилось, что построенное им уравнение логистического роста, которое называют также уравнением Ферхюльста, носит универсальный характер: оно описывает динамические процессы с насыщением в самых разных областях науки.

Модифицированное уравнение Ферхюльста, в правую часть которого введена отрицательная константа, описывает в математической биологии процесс внутривидовой конкуренции с учетом постоянного отлова части особей [44, 8]. Оказалось, что это уравнение описывает также динамику выпуска продукции однопродуктовой фирмы и монополии в соответствующих нелинейных динамических моделях, отражающих производственные, инвестиционные и амортизационные процессы [45, 46]. К исследованию уравнения логистического типа сводится и макроэкономическая модель Р.Солоу [47].

В XX веке в математической биологии были построены математические модели динамики двух конкурирующих популяций, развивающие идею Ферхюльста о снижении темпа прироста популяции вследствие конкуренции [48]. Позже было установлено, что динамика дуопольного рынка описывается уравнениями, формально совпадающими с уравнениями модели динамики биоценоза [49 51].

О значении математического моделирования при исследовании экономических процессов лучше всего говорит следующий факт: среди выдающихся экономистов второй половины XIX в. начала XX в.

“...только Кларк и Бем-Баверк сумели внести фундаментальный вклад в экономическую теорию без использования или знания математики” [34].

С усложнением проблем экономики и управления в ХХ в. совершенствовались математические методы их анализа. Это в конечном итоге привело к развитию таких разделов математики, как линейное и нелинейное программирование, динамическое программирование, теория игр и др. В результате обобщения накопленного опыта и естественной эволюции науки сложилась современная методология исследования социально-экономических проблем, опирающаяся на системный подход. Использование принципа системности, без которого невозможно эффективное управление, включает, наряду с содержательным анализом изучаемых процессов, применение метода математического моделирования.

1.3.3. Развитие математических методов исследования экономики осуществлялось в ХХ веке представителями различных стран, в том числе и России. Многие результаты, полученные российскими математиками-экономистами, стали достоянием мировой культуры. К ним, прежде всего, следует отнести анализ Е.Е. Слуцким модели поведения потребителя; открытие Н.Д. Кондратьевым длинных волн в экономике; разработку первого баланса народного хозяйства СССР за 1923 1924 гг., на основе которого была построена широко известная ныне модель В. Леонтьева. Особое значение имеет вклад Л.В. Канторовича в развитие линейного программирования направления, оказавшего большое влияние на развитие экономической науки. Открытие линейного программирования зафиксировано в 1939 г., когда вышла в свет небольшая брошюра Л.В. Канторовича объемом всего 68 стр. [52].

Благодаря исследованиям, выполненным на основе математического моделирования в Центральном экономико-математическом институте РАН и других ведущих научных центрах России были получены значительные результаты в области анализа социально-экономических процессов. И, тем не менее, метод математического моделирования до сих пор применяется в нашей стране преимущественно в научных разработках.

Что касается, например, научного обоснования в восьмидесятые годы ХХ века возможности “ядерной зимы”, оказавшего тогда большое влияние на многих политиков во всем мире и принятого ими во внимание, то эта работа является одним из немногих исключений из общего правила. Напомним, что возможность кардинального изменения климата была получена на основе вычислительных экспериментов с математической моделью, которые были выполнены в Вычислительном центре АН СССР под руководством Н.Н. Моисеева [53].

До девяностых годов ХХ века недооценка естественнонаучных методов исследования социальных процессов была связана в большой степени с идеологическими установками. Так, попытки (весьма редкие) публикации результатов, полученных западными учеными на основе использования математических методов, обязательно предварялись идеологическими клише такого рода: “...стараясь затушевать эксплуататорскую природу капиталистического способа производства”, “...теория равновесия, враждебная марксизму – ленинизму”, “...на эконометрику была возложена задача поднять престиж буржуазной политической экономии” и т. п.

И это несмотря на то, что в 1965 г. Л.В. Канторовичу, В.С. Немчинову, и В.В. Новожилову была присуждена Ленинская премия за фундаментальные экономико-математические исследования, что, казалось бы, свидетельствовало об официальном признании эффективности применения математического моделирования при анализе экономических проблем.

Еще один пример: вплоть до конца восьмидесятых годов ХХ века вопросы, связанные с цикличностью развития, и, в частности, длинные волны в экономике, обнаруженные Н. Д. Кондратьевым за шестьдесят лет до этого, были в нашей стране фактически запретной темой, т. к. они не вписывались в концепцию “неуклонного роста народного хозяйства”. Показательно, что первая монография на русском языке, посвященная этому вопросу, вышла в свет лишь в 1989 г. [54].

Другая причина неэффективного использования математических методов в советский период противоречие между народнохозяйственной эффективностью и интересами хозяйствующих субъектов. Приведем пример, давно ставший хрестоматийным [55].

В шестидесятые годы прошлого века была сделана попытка внедрить оптимальное планирование перевозок основных грузов по Москве. В результате этого, согласно выполненным в ВЦ АН СССР расчетам, можно было понизить тонно-километры пробега на 14%. Это давало около 3 млн. руб. экономии в год (примерно 2 млн. долларов США по курсу тех лет). Для проведения эксперимента была выделена автобаза, все маршруты перевозок которой определялись на основе решения задачи о минимизации тонно-километров пробега. Однако через три месяца после начала эксперимента эта автобаза очутилась в глубочайшем прорыве и категорически отказалась от его дальнейшего проведения.

Дело в том, что критерием оценки хозяйственной деятельности автотранспортных предприятий в то время служили тонно-километры: чем больше значение этого показателя, тем лучше работает предприятие. Поэтому оптимальное решение (с точки зрения предприятия) заключалось в следующем: каждый автомобиль должен был забрать груз, выехать с ним на Московскую кольцевую автодорогу (МКАД) и кружить по ней в течение всего рабочего дня [55].

1.3.4. Прошло без малого полвека, однако и сейчас противники научных методов анализа рассматривают применение математики, выходящей за пределы школьной алгебры, как нечто подозрительное. Это сопротивление – не российская особенность. Например, против намерения Л. Вальраса использовать в курсе политической экономии математические модели (90-е гг. ХIХ в.) выступало подавляющее большинство его коллег по Лозаннскому университету [40].

Одним из основных доводов, который служил и служит препятствием для использования метода математического моделирования при анализе конкретных социально-экономических процессов, является сложность объекта моделирования, поскольку применяемая модель может оказаться слишком упрощенной по сравнению с объектом-оригиналом.

К объективным проблемам, ограничивающим эффективность применения метода математического моделирования при анализе социально-экономических процессов, следует отнести и то, что в этой области имеют место элементы управляемости и стихийности, детерминированности и существенной неопределенности, сочетание процессов технического (производственного) и социального характера. Поэтому до сих пор не существует окончательно сформировавшегося подхода к анализу и прогнозированию процессов рыночной экономики, вследствие чего расчеты, опирающиеся преимущественно на мягкие модели, носят оценочный характер.

Отметим еще одно из препятствий. Рекомендации и выводы, полученные на основе анализа математической модели, могут оказаться невостребованными на практике по следующей причине: управленец при принятии решения может предпочесть опереться на интуицию и даже иметь нерешенную проблему, чем использовать модели, в которых он ничего не понимает, и стать, таким образом, заложником разработчика-математика. А. А. Дородницын связывал недооценку моделирования в большой степени с психологическим эффектом: технические и программные средства в англоязычной литературе имеют специальные термины (“hardware” и “software” соответственно), а специальный термин для моделей и алгоритмов (например, “brainware”) отсутствует [56].

Наряду с объективными причинами, сдерживающими применение математических методов в социально-экономических науках, существуют преграды, которые носят субъективный характер. О главной из них говорил П.Л. Капица на Международном симпозиуме по планированию науки еще в 1959 г. Размышляя о развитии общественных наук, он использовал аналогию с положением естественных наук в средние века. В те времена

“...церковь брала на себя монополию схоластически-догматического толкования всех явлений природы, решительно отметая все, что хоть в малейшей мере противоречило каноническим писаниям. ...Сейчас существует большое разнообразие государственных структур, которые признают за истину только то в общественных науках, что доказывает целесообразность этих структур. Естественно, что при таких условиях развитие общественных наук сильно стеснено” [57].

За прошедшие полвека эти слова не утратили своей актуальности.

Слабое представление о возможностях метода моделирования, о пределах применимости той или иной модели приводит к тому, что реакцией на несовпадение конкретных результатов социально-экономической политики и прогнозов (ожиданий), полученных на основе анализа неадекватных моделей, часто являются эмоциональные выводы такого рода:

“моделирование в наших условиях бессмысленно”, “экономические законы в России не действуют”, “умом Россию не понять” и т. д.

Но ведь это все равно, что рассчитывать траекторию движения баллистической ракеты по формуле из школьной задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту, а потом возмущаться несоответствием “прогноза” реальному полету ракеты!

О неудовлетворенности исследователей тем, в какой степени используются их аналитические разработки при принятии управленческих решений, свидетельствует следующее, весьма горькое, высказывание П. Самуэльсона:

“...экономический анализ и экономическая действительность это два разных мира, и лучшее, что можно посоветовать экономистам, это продолжать двигать вперед логику и теорию своей науки. А для того, чтобы избежать крушения надежд или повальной шизофрении, целесообразнее всего удалиться в стены академий и работать здесь ради одной лишь достойной награды самоодобрения исследователя” [40].

Да, конечно, применение метода математического моделирования при анализе конкретных экономических процессов – не панацея. Это не механика, здесь все гораздо сложнее. И если, например, расчеты траектории той же баллистической ракеты, выполненные на основе достаточно совершенной математической модели, все равно требуют введения поправочных коэффициентов, учитывающих влияние неучтенных факторов (скорости ветра, рельефа местности и т. д.), то в экономике все гораздо сложнее. Здесь число факторов, влияющих на отклонение теоретических выводов от реальности, слишком велико, а многие из них в принципе оказываются неформализуемыми.

Поэтому, говоря о пределах применимости метода математического моделирования при обосновании управленческих решений, вспомним слова Т. Саати, сказавшего об исследовании операций, что это

“…искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще более плохие ответы другими способами” [38].