Часть I

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ − МЕТОДОЛОГИЯ АНАЛИЗА ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Глава 1

ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

1.1. Математика и экономическое образование

1.1.1. В настоящее время математика изучается в вузах страны будущими физиками, химиками, инженерами, экономистами, управленцами, юристами и т. д. Возникает естественный вопрос, в какой мере должны знать математику представители гуманитарных профессий. Этот вопрос далеко не праздный, с двадцатых годов прошлого века он был постоянным предметом дискуссий в нашей стране. В ходе этой дискуссии, которая фактически продолжается до сих пор, высказывались самые разные точки зрения, начиная от “антиматематического обскурантизма*” и кончая утверждениями, что без математики вообще не может быть никакой экономической науки [1].

Обосновывая свою позицию, противники математического направления в экономике обычно ссылаются на то, что при решении многих конкретных управленческих проблем применение математики ограничивается использованием четырех действий арифметики (сравнительно недавно острословы говорили о том, что в рыночных условиях достаточно владеть двумя действиями: отнять и разделить).

Понятно, что обе упомянутые выше крайние позиции не приемлемы. Но где лежит “золотая середина”? Летом 1931 г. состоялась чрезвычайная сессия Академии наук СССР. На этой сессии с ярким докладом выступил А. Н. Крылов. Обосновывая необходимость глубокого понимания математики инженерами, он привел следующий довод:

________________

*Обскурант (лат.) враг просвещения, народного образования. Обскуран-тизм   стремление к поддержке невежества в народе, для гнета его [2].

“… за тысячелетие от 500 до 1500 г. мы можем проследить значительное развитие техники, хотя бы в виде тех неподражаемых готических храмов, построенных неведомыми мастерами, храмов, поражающих не только размерами, красотою форм, красотою линий, но и легкостью сооружения, разумным использованием материала, соблюдением даже в деталях, например в контрфорсах, истинных принципов строительной механики, которой тогда не только не было, но и быть не могло, так как даже правило простого сложения сил, называемое правилом параллелограмма сил, известно не было.

Это еще более укореняло сознание, что математика, в сущности, есть “переливание из пустого в порожнее”, ибо все, что в ней есть, взято из ее основных аксиом, которые казались до тривиальности очевидными, например, две вещи порознь равные третьей равны между собою, целое больше своей части и т. п.  значит, всеобъемлющий ум видел бы сразу в этих аксиомах и все их следствия, т. е. всю математику.

Да, но это видел бы ум всеобъемлющий, а известно, что ум человеческий ограничен, глупость беспредельна; математика и нужна уму ограниченному, как подспорье для правильных умозаключений” [3].

Эти слова, сказанные почти восемьдесят лет назад, и сейчас звучат актуально. И относятся они не только к студентам технических, но и гуманитарных специальностей. Как превратить математику в “подспорье правильных умозаключений”? Остановимся на двух ключевых вопросах, от понимания которых во многом зависит и интерес студентов экономических специальностей к математике, и степень освоения ими учебного курса.

Первый вопрос касается цели обучения. Существующая до сих пор система математической подготовки студентов экономических специальностей включает изучение ими фундаментальных понятий математики и математических методов решения сформулированных задач. При этом в подавляющем большинстве экономических вузов России изучение математики ограничивается первыми двумя курсами, а полученные студентами математические знания выпускающими кафедрами практически не используются. В результате этого у подавляющего большинства студентов не закладываются даже начальные навыки решения прикладных задач управления, основанных на применении принципов и методов математического моделирования*.

________________

* Математическое моделирование процесс построения и изучения математических моделей реальных объектов (процессов, явлений) для решения исследовательских или прикладных задач. Математическая модель – упрощенное описание объекта, отражающее в математической форме важнейшие его свойства и предназначенное для получения новой информации о нем. Экономико-математическое моделирование математическое моделирование экономических объектов [4, 5, 6].

Ведущие ученые нашей страны неоднократно поднимали вопрос о необходимости изучения математических моделей как важнейшей части математической подготовки специалистов в любой области знания. В этой связи приведем несколько мнений.

Формулируя основные цели, которые стоят перед математическим образованием, Л.Д. Кудрявцев в книге “Современная математика и ее преподавание”, первое издание которой вышло еще в 1980 г., обращает внимание на то, что выпускники технических вузов должны

“… в пределах своей специальности <…> уметь строить математические модели; уметь ставить математические задачи” [7].

В.И. Арнольд в докладе на научно-практическом семинаре “Аналитика в государственных учреждениях”, состоявшемся в Администрации Президента РФ в 1997 г., говорил о том, что

“… основной целью математического образования должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира” [8].

Об усилении роли математического моделирования в экономическом образовании свидетельствует и недавняя дискуссия, развернувшаяся после публикации статьи П. Кругмэна в газете “The New York Times” в сентябре 2009 г. В этой статье нобелевский лауреат дал негативную оценку применению математических методов в экономике, указав на неспособность современной экономической науки предсказать кризис:

“… в самых распространенных математических моделях, которыми пользовались для прогнозирования экономисты, ничто не предполагало саму возможность коллапса вроде того, что случился в минувшем году” [9].

Полемизируя с П. Кругмэном, вице-президент Американской ассоциации финансов Д. Кохрейн отметил, в частности, следующее.

“… Все области человеческой жизни постепенно пронизываются цифрами <…>. Есть ли хоть малейший шанс, что в экономике все будет иначе? Нет, проблема не в математике. Напротив, ее меньше, чем должно бы быть. Математика в экономике служит для того, чтобы логика не искажалась, чтобы подтвердить, что из “если” вытекает “то”, чего зачастую не происходит, если просто писать художественную прозу” [10].

Поэтому, на наш взгляд, цикл математических дисциплин должен завершаться изучением курса “Введение в экономико-математическое моделирование”. Что дает включение этого курса в программу математической подготовки студентов экономических вузов?

Во-первых, цикл математических дисциплин приобретет логическую завершенность. В этом случае у студентов, наряду с освоением ими методов решения конкретных математических задач, формировались бы и начальные навыки реального применения этих методов в экономике и управлении, начиная с концептуального анализа проблемы и постановки математической задачи и заканчивая анализом математической модели и разработкой практических рекомендаций.

Во-вторых, четко обозначенная структура (краткая программа) названного курса позволила бы избежать возможной его подмены дисциплиной, в которой изучаются методы корреляционного анализа, линейного и динамического программирования, теории расписаний, теории массового обслуживания, теории игр, традиционно относящиеся к курсу “Исследование операций”. Математическое моделирование дополняет и обобщает названые курсы, используя инструментарий этих математических дисциплин.

И, наконец, в-третьих, позиционирование этого курса в цикле естественнонаучных и математических дисциплин Госстандарта высшего образования экономических специальностей способствовало бы исправлению сложившейся к настоящему времени в экономической науке ситуации, о которой Г.Б. Клейнер пишет следующее.

“… экономико-математическое моделирование как самостоятельная дисциплина, изучающая процессы построения, интерпретации и применения математических моделей экономических объектов для решения задач анализа, синтеза и прогнозирования их деятельности, развивается недостаточными темпами. Содержательная часть процесса моделирования (выбор показателей, факторов, зависимостей) включается в экономическую теорию, а техническая (под которой в 9 случаях из 10 понимается построение тех или иных статистических моделей) – в эконометрику. Таким образом, экономико-математическое моделирование оказывается, с одной стороны, разорванным, с другой – усеченным, и вопросы взаимосвязи всех этапов моделирования, корректности интерпретации результатов моделирования и, следовательно, ценности рекомендаций на основе моделирования оказываются как бы висящими в воздухе” [6].

Включение вводного курса экономико-математического моделирования в программу подготовки студентов экономических специальностей служило бы “наведению мостов“ между циклом естественнонаучных и математических дисциплин и циклом экономических дисциплин.

Второй вопрос связан с имеющим место формализмом в преподавании, о котором говорят многие специалисты. В этой связи снова процитируем В.И. Арнольда:

“… Выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях сделалось, к несчастью, системой. Выросли целые поколения профессиональных математиков и преподавателей математики, умеющих только это и не представляющих себе возможности какого-либо другого преподавания математики” [8].

Не развивая этот вопрос, отметим только, что существует много относительно простых примеров использования математических методов в экономике и управлении, которые являются яркими иллюстрациями, демонстрирующими возможности математического моделирования как мощного средства изучения социально-экономических процессов. И обсуждать эти примеры можно независимо от принятого Госстандарта (до сих пор всегда были студенты, которые хотели учиться и с большим интересом относились к приложениям математики для анализа практических задач). Однако сейчас изложение примеров с экономическими приложениями в большой степени зависит от вкусов конкретного преподавателя, а из-за дефицита времени эти примеры если и излагаются в базовых курсах, то, как правило, весьма поверхностно и формально.

1.1.2. Лет двадцать назад возникло ощущение, что ситуация с изучением математики в экономических вузах нашей страны стала меняться к лучшему: в появившихся тогда курсах (“Микроэкономика”, “Макроэкономика”, “Финансовая математика” и др.) используется аппарат математического моделирования. Происходящие сейчас обсуждения модели «Российское образование 2020» свидетельствуют, на первый взгляд, тоже об усилении роли математики. Ведь одной из приоритетных задач, решаемой при проведении реформы, является

“… обеспечение инновационного характера базового образования в соответствии с требованиями экономики, основанной на знаниях” [11].

При этом предполагается, что

“…массовый бакалавриат, доступный для каждого гражданина России, успешно освоившего программу общеобразовательной школы и готового вкладывать усилия в свое дальнейшее образование, должен обеспечивать освоение самого широкого набора компетентностей – от фундаментальных знаний и методов исследований до совершенно прикладных умений, позволяющих успешно выступать на рынке труда” [11].

Как видим, развитие системы образования предполагает устранение имеющихся недостатков и усиление роли фундаментального знания, которое в экономической науке включает владение, в частности, методологией математического моделирования. Но готовы ли студенты усвоить новые учебные программы? К сожалению, реальность такова: в течение последнего десятилетия мы наблюдаем устойчивое падение уровня математической подготовки в средней школе, и, как следствие, падение его и в вузах.

Сейчас в большинстве школ страны происходит “натаскивание” школьников на решение тестовых задач, а на организацию систематического изучения курса школьной математики у учителей, по-видимому, не остается ни времени, ни сил. Об этом свидетельствуют, в частности, результаты контрольной работы по элементарной математике, отвечающей базовым требованиям школьной программы, которая была проведена на первом курсе Государственного университета управления в сентябре 2009 г. Результаты контрольной: около 40% из тысячи с лишним студентов получили неудовлетворительные оценки.

Возникает парадоксальная ситуация: уровень математической культуры выпускников школ за последние годы катастрофически падает, а разрабатываемые Госстандарты высшего образования для экономических специальностей предъявляют к математической подготовке обучающихся повышенные требования. Поэтому задача совершенствования преподавания математики (и не только ее) на всех уровнях образования, которая стоит перед Министерством образования и науки, становится чрезвычайно актуальной, а ее решение жизненно необходимым. В этой связи подчеркнем еще раз, что математическое моделирование должно занять достойное место в системе экономического образования.