1. Случайный процесс называется марковским процессом (или процессом без последействия), если для каждого момента времени t вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от ее состояния в настоящем и не зависит от того, как система пришла в это состояние.

Цепью Маркова называют такую последовательность случайных событий, в которой вероятность каждого события зависит только от предыдущего, но не зависит от более ранних событий.

Итак, марковский процесс удобно задавать графом переходов из состояния в состояние.

2. Рассмотрим два варианта описания марковских процессов — с дискретным и непрерывным временем.

В первом случае переход из одного состояния в другое происходит в заранее известные моменты времени — такты (1, 2, 3, 4, …). Переход осуществляется на каждом такте, то есть исследователя интересует только последовательность состояний, которую проходит случайный процесс в своем развитии, и не интересует, когда конкретно происходил каждый из переходов.

Во втором случае исследователя интересует и цепочка меняющих друг друга состояний, и моменты времени, в которые происходили такие переходы.

И еще. Если вероятность перехода не зависит от времени, то марковскую цепь называют однородной.

3. Например, Марковской цепью является последовательные тасования колоды игральных карт. Вероятность, что после очередного тасования карты будут расположены в определенном порядке, зависит только от их расположения перед этим тасованием и не зависит от всех предыдущих. Т.е. последовательность состояний системы является Марковской цепью, если текущее состояние системы полностью определяет, что с ней может произойти дальше, а как она попала в это состояние - не важно.

5. Физический смысл:

Правило составления дифференциальных уравнений для вероятностей состояний

марковского процесса. Производная вероятности некоторого состояния k равна алгебраиче-

ской сумме произведений вероятностей состояний на интенсивности переходов, взятых со зна-

ком “плюc” для входящих в k стрелок и “минус” — для выходящих.

48. Доверительная вероятность - вероятность найти измеряемую величину в данном доверительном интервале. Т.е. чем уже интервал, в котором предположительно находится измеряемая величина, тем меньше вероятность найти её в нем.

Чем больше доверительная вероятность, тем больше должна быть величина погрешности, чтобы попасть в нужный интервал значений.

Рекомендуемое значение вероятности Р = 0,95.

Доверительный интервал — термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Доверительным интервалом параметра θ распределения случайной величины X с уровнем доверия 100p% (В метрологической практике используют главным образом кван-тильные оценки доверительного интервала. Под 100P-процентным квантилем х_р понимают абсциссу такой вертикальной линии, слева от которой площадь под кривой плотности распределения равна Р%. Иначе говоря, квантиль — это значение случайной величины (погрешности) с заданной доверительной вероятностью Р. Например, медиана распределения является 50%-ным квантилем х_0,5.), порождённым выборкой (x₁,…,x_n), называется интервал с границами l(x₁,…,x_n) и u(x₁,…,x_n), которые являются реализациями случайных величин L(X₁,…,X_n) и U(X₁,…,X_n), таких, что

.

Граничные точки доверительного интервала l и u называются доверительными пределами.

Доверительным интервалом называется интервал (θ^*– ε; θ^*+ε), покрывающий

неизвестный параметр θ с надежностью β.

Иногда вместо доверительной вероятности β используют обратную величину – уровень значимости α = 1–β. Если β – вероятность, что оцениваемый параметр попадет в интервал, α – вероятность, что не попадет. В статистических таблицах указывается именно α.

52. Доверительный интервал для математического ожидания

Р ассмотрим нахождение доверительного интервала для M(X) нормально распределенной СВ, т.е. нужно найти такой интервал, чтобы выполнялось следующее неравенство , т.е. данный интервал ширину 2ε. Он обладает симметрией.

Вероятность того, что определяется:

• законом нормального распределения, если известна D(x)=σ²

• или распределения Стьюдента, если D(x) неизвестна, а подсчитана ее несмещенная оценка S².

Критерий Стьюдента определяется таким параметром как степень свободы υ=n–1.

Для расчетов доверительных интервалов для M(X) используют два подхода:

- при известной дисперсии:

Будем рассматривать выборочную среднюю как случайную величину. Примем без доказательств, что если СВ Х распределена нормально, то и выборочная средняя по независимым наблюдениям распределена нормально. P(|X–M(x)|<ε)=2Φ(х)=β.

Таким образом для нормального распределения 2Φ(х)=β.

Параметр t в функции Лапласа :

Таким образом для отыскания границ доверительного интервала:

1. п о таблицам функции Лапласа находим значение аргумента t, для которого Φ(t)=β/2.

2. зная значение t из условия находим ε (граница интервала):

Записываем доверительный интервал:

- при неизвестной дисперсии:

Если D(x) неизвестна, а ее несмещенная оценка S², то в этом случае β покрытия M(x) интервалом вычисляют по закону распределения Стьюдента со степенью свободы υ=n–1 и α=1–β.

И меются таблицы, которые по заданным уровням значимости и степеням определяют значения критерия Стьюдента t_α,υ по формуле

Т аким образом доверительный интервал для М(х) при неизвестной дисперсии строится в виде

Данный интервал определяет, что с доверительной вероятностью β он покрывает истинное значение М(х).

46. Нахождение оценок максимального правдоподобия включает следующие этапы: построение функции правдоподобия (ее натурального логарифма); дифференцирование функции по искомым параметрам и составление системы уравнений; решение системы уравнений для нахождения оценок; определение второй производной функции, проверку ее знака в точке оптимума первой производной и формирование выводов.

Метод максимального правдоподобия. Метод основан на исследовании вероятности получения выборки наблюдений (x₁, x₂, …, x_n). Эта вероятность равна f(х₁, T) f(х₂, T) … f(х_п, T) dx₁ dx₂ … dx_n.

Совместная плотность вероятности

L(х₁, х₂ …, х_n ; T) = f(х₁, T) f(х₂, T) … f(х_n, T), (4.1) рассматриваемая как функция параметра T, называется функцией правдоподобия.

В качестве оценки q параметра T следует взять то значение, которое обращает функцию правдоподобия в максимум. Для нахождения оценки необходимо заменить в функции правдоподобия Т на q и решить уравнение L/q = 0. В целях упрощения вычислений переходят от функции правдоподобия к ее логарифму ln L. Такое преобразование допустимо, так как функция правдоподобия – положительная функция, и она достигает максимума в той же точке, что и ее логарифм. Если параметр распределения векторная величина q =(q ₁, q ₂, …, q _n), то оценки максимального правдоподобия находят из системы уравнений

ln L(q ₁, q ₂, …, q _n) / _{q 1} = 0;

ln L(q ₁, q ₂, …, q _n) / _{q 2} = 0;

. . . . . . . . .

ln L(q ₁, q ₂, …, q _n) / _{q n} = 0. (4.2)

Для проверки того, что точка оптимума соответствует максимуму функции правдоподобия, необходимо найти вторую производную от этой функции. И если вторая производная в точке оптимума отрицательна, то найденные значения параметров максимизируют функцию.