Задача 2. Получить ммп оценки случайной величины, имеющей нормальный закон распределения

И меем выборку Y={y₁,y₂,…,y_n}

Переменная Y имеет нормальный закон распределения:

Необходимо найти значения параметров а и σ²

Ш аг 1. Составление функции правдоподобия

Ш аг 2. Логарифмирование полученной функции

(5.13)

Шаг 3. Дифференцируем выражение (5.13) по параметрам а и σ², решаем полученную систему уравнений

З амечание. Для удобства введем переменную s= σ²!

(5.14)

(5.15)

И з уравнения (5.14) следует, что (5.16)

Из уравнения (5.15) следует, что (5.17)

Ш аг 4. Проверяем несмещенность и эффективность оценок (5.16) и (5.17)

1. Несмещенность оценки (5.16)

2. Несмещенность оценки (5.17)

Вывод. Оценка (5.16) параметра а является несмещенной

Оценка (5.17) параметра σ² асимптотически несмещенная

2. Проверка эффективносити оценок (5.16) и (5.17)

В ычисляем элементы информационной матрицы Фишера

В результате информационная матрица Фишера и ее обратная матрица принимают вид:

В ычислим дисперсии оценок (5.16) и (5.17)

Д исперсия оценки мате-матического ожидания

Дисперсия оценки параметра σ²

Выводы

Сравнение полученных результатов с элементами обратной матрицы Фишера, показывает

1. Дисперсия оценки параметра «а» совпадает с минимально возможной дисперсией

Это означает, для нормально распределенной случайной переменной ММП дает несмещенную и эффективную оценку параметра «а»

2. Дисперсия оценки параметра «σ²» является только асимптотически несмещенной и эффективной

4.3. Марковские цепи с непрерывным временем

4.3.1. Уравнения Колмогорова

На практике значительно чаще встречаются ситуации, когда переходы системы из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени, которые заранее указать невозможно: например, выход из строя любого элемента аппаратуры, окончание ремонта (восстановление) этого элемента. Для описания таких процессов в ряде случаев может быть с успехом применена схема марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем – непрерывная цепь Маркова. Покажем, как выражаются вероятности состояний для такого процесса. Пусть S={S₁,S₂,…S_n}. Обозначим через p_i(t) - вероятность того, что в момент t система S будет находиться в состоянии ). Очевидно . Поставим задачу – определить для любого t p_i(t). Вместо переходных вероятностей P_ij введем в рассмотрение плотности вероятностей перехода

.

Если не зависит от t, говорят об однородной цепи, иначе - о неоднородной. Пусть нам известны для всех пар состояний (задан размеченный граф состояний). Оказывается, зная размеченный граф состояний можно определить p₁(t),p₂(t)..p_n(t) как функции времени. Эти вероятности удовлетворяют определенного вида дифференциальным уравнениям, (уравнения Колмогорова).

Интегрирование этих уравнений при известном начальном состоянии системы даст искомые вероятности состояний как функции времени. Заметим, что p₁+p₂+p₃+p₄=1 и можно обойтись тремя уравнениями.

Правила составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак минус, если в состояние - знак плюс. Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода, соответствующего данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка.

Рассмотрим модель "гибели" и "размножения" (рис. 1).

Рис. 1. Схема "гибели" и "размножения"

Если все состояния системы можно представить в виде цепи, в которой каждое звено (состояние) связано с двумя соседними прямой и обратной связью, то такая схема называется схемой "гибели" и "размножения". Переход вправо моделирует процесс размножения, влево — гибели. Характеристики процесса: - интенсивность размножения, - интенсивность гибели.

Финальные вероятности для схемы "гибели" и "размножения" определяются посоотношениям (7-11) при :

;	(7)
;	(8)
……………………
;	(9)
……………………
;	(10)
;	(11)

Из условия (11) получаем:

.

(12)

Таким образом, вероятность любого состояния системы равна дроби, в числителе которой — произведение всех интенсивностей "размножения", стоящих левее , а в знаменателе — произведение всех интенсивностей "гибели", стоящих левее , умноженное на вероятность крайнего левого (начального) состояния.