Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Otvety_Linal.docx
Скачиваний:
245
Добавлен:
31.03.2015
Размер:
8.08 Mб
Скачать
  1. Матрицы. Операция сложения и умножения матрицы на число

Ответ:

Опр1. Матрицей A размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел, состоящая из S строк и n столбцов.

- элемент матрицы,

i – номер строки,

j – номер столбца.

Типы матриц:

1. квадратная матрица;

2. нульматрица;

3. ;A – диагональная матрица элементы главной диагонали.

4. единичная матрица.

5.

верхняя треугольная матрица.

6.

нижняя треугольная матрица

Определение2 Пусть матрицы А и В имеют одинаковую размерность, тогда

Пусть для, тогда говорят, что матрицы А и В равны: А=В.

Определение3 Пусть матрицы А и В имеют одинаковую размерность, тогда суммой матриц А и В называется матрица

С=А+В;

Определение4 Пусть , авещественное число, тогда произведением матрицы А на числоназывается матрица

Свойства линейных операций над матрицами

Перестановочность:

  1. А+В=В+А

  2. (А+В)+С=А+(В+С);

Распределительный закон умножения

3.

4.

5. Определение5 Пусть существуют матрицы

С – разность А и В, если можно записать А=В+С; обозначается С=А-В.

Определение6 Пусть матрицы

Матрица называется произведением матриц А и В (обозначается С=АВ), если

Определение7 Транспонированная матрица. Транспонировать матрицу Азначит записать столбцы матрицы А строками с теми же номерами.

Вопрос 2: Операция умножения матриц и ее свойства

Определение6 Пусть матрицы

Матрица называется произведением матриц А и В (обозначается С=АВ), если

Свойства:

Сочетательное свойство:

Распределительное свойство:

.

Произведение матрицы на единичную матрицу подходящего порядка равно самой матрице:

Произведение матрицы на нулевую матрицу подходящей размерности равно нулевой матрице:

Если и— квадратные одного и того же порядка, то произведение матриц обладает ещё рядом свойств.

Умножение матриц в целом некоммутативно:

Если , то матрицыиназываются перестановочными или коммутирующими между собой.

Определитель и след произведения не зависят от порядка умножения матриц:

Билет 3. Перестановки и их четность. Изменение четности при транспозиции.

Прежде чем обобщить понятие определителя на матрицы более высокого порядка, дадим некоторые новые определения..

Рассмотрим конечное множество из элементов. Занумеруем эти элементы первыми числами натурального ряда. Таким образом, будем считать, что элементами являются числа 1, 2, … ..

Обычный порядок этих чисел можно изменить, переставив их. Например, числа 1,2,3 можно расположить так: 3,1,2 или 2,3,1. Всякое расположение чисел 1,2,…, назовемперестановкой.

Утверждение. Число всех перестановок множества из элементов равно!.

Доказательство. Общий вид перестановки таков:

,

где каждое из - одно из чисел, причем все они различны. В качествеможно взять любое изчисел. Для каждого выбора числаестьвозможность выбрать. Еслиивыбраны, то остаетсявозможности выбрать, и т.д. Итак, получаем

!

способов переставить числа 1,2,… . . Ч.т.д.

Пусть

-

некоторая перестановка. Говорят, что иобразуют инверсию, если<, но>. Перестановка называетсячетной, если она содержит четное число инверсий, и нечетной, если число инверсий нечетно. Например:

2 3 1 5 4 - 3 инверсии (2,1), (3,1).(5,4); перестановка нечетная.

4 3 1 5 2 - 6 инверсий (4,3), (4,1), (4,2), (3,1), (3,2), (5,2); перестановка четная.

Установленное выше соответствие между перестановками и подстановками позволяет говорить и о четности подстановок: будем называть подстановку четной (нечетной), если соответствующая ей перестановка четная (нечетная). Знак подстановки равен +1, если подстановка четная, и -1, если подстановка нечетная.

Лемма. Две перестановки

и

имеют различную четность.

Доказательство. Пусть сначала , т.е. вторая получается из первой перестановкой двух соседних элементов:

; .

Инверсии, содержащиеся в первой перестановке, в которых хотя бы один элемент не равен илисохраняются и во второй перестановке. Исключение составляет пара. Если она образует инверсию, то во второй перестановке пара инверсии не образует. И наоборот, если инверсии не было, то во второй перестановке, поменявшись местами, эти элементы образуют инверсию. Значит, количество инверсий в этих перестановках отличается на одну инверсию.

Пусть теперь ипроизвольные. Тогда вторую перестановку можно получить из первой за несколько шагов, каждый раз меняя соседние элементы:

и ,и,…,и- всегошагов;

затем и,и,…,и- всегошагов.

Итого, мы сделаем шагов. На каждом шаге знак перестановки менялся, а поскольку число шагов было нечетно, то знаки перестановок различны.

Утверждение Любая транспонизация элементов меняет четность перестановки.

Подстановкой будем называть любое взаимно однозначное отображение множества на себя.

Билет 4. Определители 2, 3 порядков. Определние определителя порядка n. Единичная матрица и ее определитель

Определителем квадратной матрицы (det A) называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

, где М1k - определитель матрицы (детерминант), полученной из исходной матрицы вычеркиванием первой строки и k - oго столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. \

В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:

= a11a22a33a11a23a32a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32a13a22a31

Определитель единичной матрицы равен 1

Билет 5.

Неизменность определителя при транспонировании его матрицы

1.Определитель не меняется при транспонировании.

Пусть А(nxn), пусть В=АT

А=||a,ig|| , B=||b,gi||

a,ig = b,gi – очевидно.

Рассмотрим слагаемое в detB (-1)N(P)*a£11*a£22*…*a£nn

Здесь P=(1 2 … n)

(£1 £2 … £n)

произведение a£11*a£22*…*a£nn входит в det A со знаком

P`=(£1 £2 … £n)

(1 2 … n)

Очевидно, что четности подстановок совпадают

(-1)N(P)=(-1)N(P`) по этому det A b det B состоят из одних и тех же

слагаемых произведений.

7). При транспонировании матрицы определитель не меняется:

Докажем это. В разложении определителя (*) любое слагаемое с точностью до знака является произведением элементов матрицы по одному из каждой строки и из каждого столбца. Поэтому с точностью до знаков слагаемые в разложениях определителей исходной и транспонированной матриц совпадают. Теперь разберемся со знаками.

Возьмем произвольное слагаемое из разложения определителя матрицы и покажем, что в разложение определителя транспонированной матрицы оно будет входить с тем же знаком. Пусть это слагаемое соответствует подстановке π: . Упорядочим сомножители по второму индексу, т.е. по столбцам:, где– некоторая другая подстановка, причем. Заметим, что количество инверсий в перестановкахисовпадает, ведь если выполнялось условие<, но>, то после упорядочивания сомножителей по номерам столбцов появится соответствующая инверсия в перестановке номеров строк. Значит, четность подстановокисовпадает.

Билет 6.

Разложение определителя в сумму определителей, если какой-либо столбец определяется суммой столбцов

Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

Билет 7. Свойства определителя – вынесение за знак определителя общего множителя из строки или стобца, перестановка двух строк или столбцов

Ответ:.Общий множитель элементов некоторой строки можно вынести за знак определителя.

Если одну из строк матрицы умножить на некоторое число , то определитель умножится на это же число. Действительно, если все элементы одной строки умножить на , то умножится наи каждое слагаемое в формуле (*), а значит, и определитель матрицы.

2). Если две строки матрицы поменять местами (элементарное преобразование типа I), то определитель матрицы поменяет знак (кососимметричность). Иначе, пусть

Тогда .

Доказательство. Рассмотрим произвольное слагаемое в формуле (*) для матрицы , соответствующее подстановке, пока не учитывая его знак. Это слагаемое встретится и в разложении определителя, но будет соответствовать другой подстановке

: .

Согласно лемме четность подстановок иразлична, а значит, различны и знаки, с которыми эти слагаемые входят в соответствующие разложения определителей. Итак, при переходе отквсе слагаемые в разложении (*) поменяют знаки, следовательно, изменит знак и определитель.

Билет 8.

Свойства определителя - прибавление к строке определителя другой строки, умноженной на число; прибавление линейной комбинцации 2 строк, аналогичное для столбцов.

Ответ:

Если к одной строке матрицы прибавить другую строку, умноженную на какое-нибудь число (элементарное преобразование типа II), то определитель матрицы не изменится. Доказательство немедленно следует из предыдущих свойств. Пусть

.

Тогда, где

-

матрица, у которой -я и-я строки совпадают, и следовательно, ее определитель равен нулю. Значит,.

Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

, ,

, ,

, .

Билет 9.

8. Если одна из строк является линейной комбинацией каких либо других строк,

то определитель равен 0

2. Если в матрице есть хотя бы 1 нулевая строка, то det A=0.

Пусть для определенности 1я строка нулевая, тогда в каждом из слагаемых

Будет входить ровно 1 элемент из этой строки. По этому все произведения =0

И det A=0.

4.если матрица А содержит 2 одинаковые строки то определитель = 0

переставим эти 2 строки местами, с одной стороны определитель должен поменять знак,

а с другой стороны он не поменялся, следовательно определитель =0

5.Общий множитель элементов некоторой строки можно вынести за знак определителя

6. определитель, содержащий две пропорциональные строки равен 0, следует из свойств

4 и 5.

Билет 10. Понятие алгебраического дополнения элемента матрицы определителя. Разложение определителя по первому столбцу или строке.

Пусть в матрице А размером mxn выбраны произовльно k строк и k столбцов. Элементы стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k порядка матрицы A

Алгебраическим дополнениемэлементаaijматрицыAназывается число

Aij= ( − 1)i + jMij, гдеMij—определительматрицы, получающейся из исходной матрицыAпутем вычёркиванияi-й строки иj-го столбца.

Билет 11. Разложение определителя по любому столбцу или строке

Аналогично, число степень и т.п.

Билет 12. Свойства определителя: Об умножение элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки, определитель произведения двух матриц.

Ответ:

Алгебраическим дополнением к элементу aij определителя detA назовем величину, обозначенную Aij: .

Теорема (вычисление определителя разложением по i-той строке): (*)

(формула разложения определителя по i-той строке)

Доказательство:

В правой части стоит сумма из n(n-1)!=n! произведений различных элементов матрицы A, причем, в силу леммы, они входят с тем знаком, с каким они входят в detA.

В правой части не может быть одинаковых слагаемых, т.к. например, все слагаемые, содержащие ai1, могут быть только в ai1Ai1. Внутри суммы ai1Ai1 тоже не может быть повторов. => Левая и правая части состоят из n! одних и тех же слагаемых без пропусков и повторений => (*) справедливо:

Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей

Билет 13 – обратная матрица:

Обра́тная ма́трица — такая матрица A-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Обратная матрица существует тогда и только тогда когда матрица А невыродженная(т.е. определитель отличен от нуля)

Необходимость.

Пусть существует А^(-1) тогда А невыродженная.

Если есть А^(-1) то det(A*A^(-1))=det A*det A^(-1)=1

Det A не равен 0

Достаточность.

Пусть det A не равен 0 то есть A^(-1)

Рассмотрим В=1/det A[A11 A21…An1] 1/det A[A11……A1n](T)

[A12 A22…An2]= [A21……A2n]

[A1n A21n..Ann] [An1……Ann]

докажем что В является левой обратной к А.

вычислим А*В

1/det A[A11 A21….An1] [a11 a1j a1n]

[A1i A2i…...Ani] [a21 a2j a2n]=C

[A1n A21n..Ann] [an1 anj ann]

Cij=1/detA(A1i*a1j+…+Ani*anj)=1/det A*det A*δij(1,i=g|0,i≠g) следовательно С=E

B есть левая обратная к А, аналогично что В является правой обратной к А.

A^(-1)=(1/det A)*(A(v))(T)

A(v)-союзная матрица из алгебраических дополнений.

Если матрица невырожденная, то существует и притом единственная матрица а-1.

Найти обратную матрицу – А(-1) = 1/detA * А(^)

А^ - транспонированная, и составлена из алгебраических дополнений матрицы А

14 Правило крамера решения СЛАУ.

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Пример:

Определители:

15. Линейная зависимость системы столбцов)строк) матрицы. Критерий линейной зависимости

Пусть матрица A=||aij|| (mxn)

Обозначим B1,B2,..,Bk – столбцы матрицы A

Определение: Столбцы B1,..,Bk называются линейно зависимыми, если существуют числа , такие, что

Определение: Столбцы B1,…,Bk называются линейно независмыми, если равенство выполняется тогда и только тогда, когда α12k=0.

Утверждение: Столбцы B1,…,Bk линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией других столбцов. Т.е. например, B12B2+…+αkBk.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]