4.2. Определители. Миноры и алгебраические дополнения

Каждой квадратной матрице A порядка n можно поставить в соответствие число , которое называется ее определителем. Рассмотрим определители 1-го, 2-го и 3-го порядков.

1. Пусть . Определитель .

2. Пусть . Определитель второго порядка

Вычисление определителя 2-го порядка изображается схемой:

3. Пусть . Определитель третьего порядка

Определители третьего порядка обычно вычисляются с использованием правила треугольников (или правила Саррюса). Суть его в том, что определитель в (4.5) состоит из трех слагаемых, взятых со знаком «+» по схеме (рис. 4.1, а) и трех слагаемых, взятых со знаком «–» по схеме (рис. 4.1, б).

(+) (–)

а б

Рис. 4.1

П ример 4.3. Найти определитель матрицы .

Р ешение. По формуле (4.4) имеем: .

П ример 4.4. Найти определитель матрицы .

Р ешение. По формуле (4.5) имеем: .

Пусть дана квадратная матрица 4-го порядка . Выберем в ней произвольно s строк и s столбцов ( ). Элементы, стоящие на пересечении s строк и s столбцов, образуют матрицу порядка s. Определитель этой матрицы называется минором порядка s и обозначается M. Оставшиеся элементы матрицы образуют определитель, который называется дополнительным к минору M и обозначается через M. Так, например, для матрицы

при выберем вторую и третью строки, первый и четвертый столбец. Тогда минором второго порядка будет определитель , а дополнительным минором будет определитель .

Каждый элемент матрицы 4-го порядка является минором пер-вого порядка. Дополнительный минор является определителем 3-го порядка, обозначаемый , соответствующий элементу .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется дополнительный минор , умноженный на , т. е.

Тогда будем считать по определению, что определитель матрицы четвертого порядка

Формула (4.7) называется разложением определителя четвертого порядка по элементам i-й строки. Можно показать, что

(разложение определителя по элементам j-го столбца). Аналогично можно ввести понятие определителя n-го порядка.

Назовем строки и столбцы матрицы ее рядами.

Теорема (о разложении определителя по элементам ряда). Определитель квадратной матрицы порядка равен сумме произведений элементов некоторого ряда на их алгебраические дополнения, т. е. справедлива формула

Для и формула (4.9) примет вид

где

Приведем некоторые свойства определителей:

1. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы, т. е. .

2. Если поменять местами два столбца (две строки) определителя, то он изменит знак на противоположный.

3. Определитель, имеющий нулевой ряд, равен нулю.

4. Определитель, имеющий два одинаковых параллельных ряда, равен нулю.

5. Общий множитель элементов какого-либо ряда можно вынести за знак определителя.

6. Если соответствующие элементы двух параллельных рядов определителя пропорциональны, то он равен нулю.

7. Если к элементам одного ряда определителя прибавить элементы другого параллельного ряда, умноженные на число , то величина определителя не изменится.

П ример 4.5. Вычислить определитель матрицы , разложив его по элементам первой строки.

Решение. Воспользуемся формулой (4.10):

,

где

З аметим, что можно было и не вычислять, т. к. .