4.17. Поверхности второго порядка

Мы будем рассматривать в данном параграфе только прямоуголь-ную систему координат Oxyz.

4.17.1. Цилиндры и конусы

Пусть в пространстве заданы некоторая линия L и прямая α, пере-секающая L.

Определение.Цилиндрической поверхностью или цилиндром называется поверхность, образованная прямой α при ее перемещении параллельно самой себе так, что она все время пересекает линию L. Прямые, полученные при перемещении прямой α, называются образующими этого цилиндра, а линия L – его направляющей. Если цилиндр имеет ось симметрии, а направляющая, лежащая в перпендикулярной этой оси плоскости, является окружностью, то цилиндр называется круговым.

Заметим, что если в уравнении поверхности отсутствует одна из координат, то это уравнение задает цилиндр с образующими, парал-лельными координатной оси, определяемой отсутствующей коорди-натой. Уравнение направляющей этого цилиндра, лежащей в перпен-дикулярной образующим координатной плоскости, совпадает с урав-нением самого цилиндра.

Так, уравнение задает цилиндр с образующими, параллельными оси Oz. Если это уравнение рассматривать в системе координат Oxy (т. е. в плоскости ), то получим уравнение направляющей этого цилиндра.

Уравнения и задают цилиндры с образующими, параллельными осям Oy и Ox соответственно.

Пусть в пространстве задана некоторая линия L и точка O.

Определение.Конической поверхностью или конусом на-зывается поверхность, образованная прямыми, проходящими через O и пересекающими кривую L. Прямые, из которых состоит конус, на-зываются его образующими, а точка O – его вершиной. Если конус имеет ось симметрии, а все его образующие наклонены к ней под одним и тем же углом, то конус называется круговым.

4.17.2. Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Определение.Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, удовлетворяющих в некоторой системе координат какому-либо уравнению 2-й степени, т. е. уравнению вида

Уравнение (4.91) называется общим уравнением поверхности вто-рого порядка (коэффициенты A, B, C, D, E, F не равны нулю одновременно).

Для любой поверхности 2-го порядка в пространстве существует прямоугольная декартова система координат, в которой эта поверхность задается каноническим уравнением. Перечислим все принципиально возможные типы канонических уравнений 2-й степени с тремя переменными и таким образом классифицируем поверхности 2-го порядка.

– эллипсоид (рис. 4.29);

– мнимый эллипсоид;

– точка O(0,0,0);

– однополостный гиперболоид (рис. 4.30);

– двуполостный гиперболоид (рис. 4.31);

– конус второго порядка (рис. 4.32);

– эллиптический параболоид (рис. 4.33);

– эллиптический цилиндр (рис. 4.34);

– мнимый эллиптический цилиндр;

– прямая (ось Oz);

– гиперболический параболоид (рис. 4.35);

– гиперболический цилиндр (рис. 4.36);

или – пара пересекающихся плоскостей;

– параболический цилиндр (рис. 4.37);

, или – пара параллельных плоскостей;

– сдвоенная плоскость;

– пара мнимых параллельных плоскостей.

Рис. 4.29

Рис. 4.30

Рис. 4.31

Рис. 4.32

Рис. 4.33

Рис. 4.34

Рис. 4.35

Рис. 4.36

Рис. 4.37

Числа a, b и c в уравнениях эллипсоида, двуполостного и однополостного гиперболоидов, конуса 2-го порядка, эллиптического и гиперболического цилиндров называются их полуосями. Все эти поверхности симметричны относительно всех координатных плоскостей и относительно начала координат. Точки пересечения двуполо-стного гиперболоида и эллиптического параболоида с осями симметрии называются их вершинами. Вершиной конуса называется его центр симметрии.

Чтобы по каноническому уравнению определить вид поверхности без формального заучивания уравнений, полезно рассуждать в следующей последовательности.

Если каноническое уравнение не содержит одной из переменных, то это один из цилиндров. При этом его образующие параллельны координатной оси, определяемой отсутствующей переменной, а урав-нение направляющей, лежащей в координатной плоскости, перпендикулярной этой оси, совпадает с уравнением самой поверхности.

Если каноническое уравнение содержит все переменные, проверим, все ли они в квадратах. Если присутствует слагаемое первой степени, то это один из параболоидов. Какой из них, легко понять по левой части уравнения.

Если в каноническом уравнении присутствуют квадраты всех трех переменных, посмотрим на знаки коэффициентов при квадратах. В случае, когда все эти коэффициенты одного знака, мы имеем либо эллипсоид, действительный или мнимый, либо точку. При из уравнения эллипсоида получаем частный случай – уравнение сферы.

Если в каноническом уравнении присутствуют квадраты всех трех переменных, но они разных знаков, то рассматриваемая поверхность либо один из гиперболоидов, либо конус второго порядка. Конус выделяется тем, что он проходит через начало координат, что легко проверяется подстановкой. Так как переменных всего три, то два коэффициента при квадратах будут иметь одинаковый знак, а третий – противоположный. Таким образом, две переменные будут равноправными, а третья – особенной. Конус или гиперболоид всегда «вытянуты» вдоль оси, определяемой особенной переменной. Чтобы отличить однополостный гиперболоид от двуполостного, следует положить равной нулю эту особенную переменную. Если в сечении получился эллипс, то гиперболоид однополостный, если пустое множество – двуполостный.

П ример 4.61. Построить тело, ограниченное поверхностями

Р ешение. Тело ограничено снизу поверхностью параболоида: , а сверху – поверхностью сферы

Тело изображено на рис. 4.38.

Рис. 4.38

П ример 4.62. Построить тело, ограниченное поверхностями

Р ешение. Поверхность – эллиптический цилиндр. Он пересечен плоскостями х = 0, z = 0 (координатные плоскости Ozy и Оxy). По оси Оy тело ограничено плоскостями y = 3, y = –3 (рис. 4.39).

Рис. 4.39

0