4.15. Прямая и плоскость в пространстве
Пусть прямая задана каноническими уравнениями:
а плоскость задана общим уравнением:
Различают следующие
случаи расположения прямой и плоскости:
1) прямая пересекается с плоскостью в
одной точке; 2) прямая параллельна
плоскости; 3) прямая лежит в плоскости.
Укажем для каждого из этих случаев
условия, которым должны удовлетворять
коэффициенты уравнений (4.70) и (4.70 а).
Выпишем направляющий вектор
прямой (4.70), нормальный вектор
плоскости (4.70а), координаты точки
прямой (4.70).
Условие пересечения прямой и плоскости:
условия параллельности прямой и плоскости:
Условия, при котором прямая (4.70) лежит в плоскости (4.70а):
Углом между прямой и плоскостью называется угол (острый) между прямой и ее проекцией на плоскость. Величина угла определяется по формуле:
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости удобно использовать параметрические уравнения прямой (4.63):
Координаты точки пересечения находятся из системы урав-нений:
П
ример
4.49. Найти угол (в градусах) между прямой
и плоскостью
.
Решение.
В данном случае направляющий вектор
прямой
;
а вектор нормали плоскости
.
Воспользуемся формулой (4.74). Получим:
.
О
ткуда
.
П
ример
4.50. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
перпендикулярно прямой
.
Решение.
Направляющий вектор
прямой может служить нормальным вектором
для искомой плоскости:
.
Теперь воспользуемся формулой (4.50):
– общее
уравнение искомой плоскости.
П
ример
4.51. Найти координаты точки, симметричной
точке
относительно плоскости
.
Решение.
Точка
,
симметричная точке
относительно плоскости, находится на
перпендикуляре к плоскости и является
концом отрезка
,
для которого серединой будет точка N
пересечения прямой
и плоскости. Направляющий вектор
перпендикуляра к плоскости – это
нормальный вектор этой плоскости
.
Уравнения перпендикуляра к плоскости,
проведенного через точку
,
имеют вид
:
Координаты точки N пересечения перпендикуляра с плоскостью найдем, решая систему (4.76):
Подставляя выражения для x, y, z в последнее уравнение системы, получим:
.
Теперь, подставляя
найденное значение t
в x,
y,
z,
будем иметь:
,
т. е.
– точка пересечения перпендикуляра и
плоскости. А так как N
– середина отрезка
,
то
.
И
меем:
.
Отсюда находим:
.
Значит, точка
имеет координаты
.
4.16. Кривые второго порядка
Считаем, что на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy.
Уравнением второй степени с двумя переменными называется уравнение вида
Линией (кривой) второго порядка называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют какому-либо уравнению 2-й степени (4.77).
Линиями 2-го порядка являются окружность, эллипс, гипербола, парабола. Рассмотрим уравнения этих линий в наиболее простом (каноническом) виде, который достигается определенным выбором системы координат.
4.16.1. Окружность
Определение.
Окружностью
называется множество всех точек
плоскости, удаленных от заданной точки
,
называемой центром,
на одно и то же расстояние R,
называемое радиусом
окружности (рис. 4.18).
Каноническое уравнение окружности имеет вид
Рис. 4.18
В частности, если
центр окружности совпадает с началом
координат, т. е.
,
то уравнение (4.78) имеет вид
