4.7. Векторы. Линейные операции над векторами. Разложение векторов. Координаты вектора
Определение.
Направленным
отрезком
(или связанным
вектором)
называется отрезок, на котором задано
направление (т. е. для которого
известно, какая из двух ограничивающих
его точек является началом и какая
концом). Направленный отрезок с началом
в точке А
и концом в точке В
обозначается
(рис. 4.2):
Рис. 4.2
Нулевым
направленным отрезком
называется пара совпадающих точек
(обозначение
)
(т. е. направление его не определено).
Длиной
направленного отрезка
называется длина отрезка АВ.
Два направленных отрезка
и
называются одинаково
направленными
(или сонаправленными),
если лучи АВ
и CD
одинаково направлены, и противоположно
направленными,
если лучи АВ
и CD
противоположно направлены (рис. 4.3).
Рис. 4.3
Нулевой направленный отрезок считается сонаправленным с любым направленным отрезком; его длина равна нулю.
Два направленных отрезка и называются эквивалентными, если они одинаково направлены и имеют одну и ту же длину. Множество всех направленных отрезков разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных друг другу отрезков.
Определение. Свободным вектором или просто вектором называется класс эквивалентных направленных отрезков.
Для
задания вектора достаточно указать
какой-либо один направленный отрезок
из этого класса. Обозначать векторы
будем малыми латинскими буквами со
стрелкой сверху:
или
,
указывая при этом один из направленных
отрезков, принадлежащих классу вектора
.
Иногда будем писать
и направленный отрезок
называть просто вектором.
Определение.
Два
вектора
и
называются равными,
если они совпадают как классы эквивалентных
направленных отрезков:
.
Если
заданы вектор
и точка А,
то существует единственная точ-ка В,
такая, что
.
Операцию построения такой точки В
будем называть откладыванием
вектора
от точки А.
Это означает, что вектор может быть отложен из любой точки пространства.
Длиной
или модулем
вектора
называется длина любого его представителя.
Обозначается
.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором.
Углом между векторами и называется угол , не превышающий (развернутого угла), между представителями этих векторов, отложенными от одной точки (рис. 4.4).
Рис. 4.4
Определение. Векторы называются коллинеарными, если образующие их направленные отрезки параллельны некоторой прямой.
Определение. Векторы называются компланарными, если направленные отрезки, которые их определяют, параллельны некоторой плоскости.
Определение.
Векторы называются ортогональными,
если угол между ними прямой (
).
Можно считать, что нулевой вектор ортогонален любому вектору. Для коллинеарных векторов угол между ними равен нулю, если они сонаправлены, и развернутому, т. е. 180, если они противоположно направлены.
Определение. Линейными операциями над векторами на-зывают сложение, вычитание и умножение вектора на число.
Определение.
Пусть заданы два вектора
и
.
Возьмем какую-либо точку О
и отложим от нее вектор
.
Далее от точки А
отложим вектор
.
Вектор
называется суммой
векторов
и
и обозначается
.
Для геометрического представления суммы векторов используют правила «замыкающей» (его еще называют «правилом треугольника») и «параллелограмма», проиллюстрированные на рис. 4.5, а и 4.5, б соответственно.
а
б
Рис. 4.5
Заметим, что определение операции сложения векторов корректно, т. е. результат не зависит от выбора точки О.
Вектор
называется противоположным
вектору
и обозначается
.
Разностью
векторов
и
называется сумма векторов
и (
):
.
Определение.
Произведением вектора
на
действительное число
α называется вектор
,
удовлетворяющий следующим условиям:
а)
;
б) векторы
и
сонаправлены при
и противоположно направлены при
.
Заметим, что в
случае
,
т. е. для любого вектора
произведение
.
Основные свойства линейных операций над векторами
Пусть даны
произвольные векторы
и действительные числа α, .
1)
(коммутативный или переместительный
закон);
2)
(сочетательный или ассоциативный закон);
3) 
(закон поглощения нулевого вектора);
4) 
(существование противоположного
вектора);
5) 
(распределительный или дистрибутивный
закон);
6)
(распределительный или дистрибутивный
закон);
7)
(сочетательный или ассоциативный закон);
8)
.
Теорема
1 (критерий коллинеарности).
Для
того, чтобы векторы
и
были коллинеарными, необходимо и
достаточно, чтобы один из них можно
было представить как произведение
другого на число, т.е. чтобы существовало
действительное число
такое, что
|
,
или существовало бы число
такое, что
.
Теорема 2
(критерий компланарности).
Для того,
чтобы три вектора были компланарными,
необходимо и достаточно, чтобы один
из них можно было представить в виде
линейной комбинации двух других,
причем если векторы
и
неколлинеарные, то вся-кий третий
компланарный им вектор
|
может быть единственным способом
представлен в виде
.
П
ример
4.14. В
треугольнике АВС
дано:
;
точка М
– середина стороны ВС.
Выразить вектор
через век-торы
и
.
Решение.
Для векторов
и
справедливо равенство:
(рис. 4.6). Отсюда
.
Так как
,
то
.
Получаем
.
Рис. 4.6
О
твет:
.
П
ример
4.15. Какому
условию должны удовлетворять ненулевые
векторы
и
,чтобы
имело место соотношение
?
Решение.
Построим на векторах
и
,
отложенных от точки О,
параллелограмм ОАDВ
(рис. 4.7). Тогда
.
Равенство
означает, что длины диагоналей
параллелограмма равны, т. е.
.
Отсюда следует, что данный параллелограмм
есть
прямоугольник. Следовательно, векторы
и
перпендикулярны.
Рис. 4.7
О
твет:
.
П
ример
4.16. Дан
треугольник АВС.
Найти вектор, определяющий
направление биссектрисы внутреннего
угла при вершине
А,
если
.
Решение.
Найдем единичные векторы
,
сонаправленные с векторами
:
.
Т
огда
вектор
будет определять направление биссектрисы
внутреннего угла при вершине А,
т. к. диагонали ромба делят его угол
пополам (рис. 4.8), т. е.
.
Рис. 4.8
П
ример
4.17. Векторы
и
– коллинеарны. Доказать, что векторы
и
коллинеарны.
Решение.
Так как векторы
и
– коллинеарны, то согласно
критерию коллинеарности вектор
можно выразить через вектор
,
т. е. записать в виде
.
Далее преобразуем это выражение,
пользуясь свойствами суммы векторов и
произведения векторов и скаляров:
,
.
Если
,
то вектор
можно выразить через
,
умножая обе части последнего равенства
на число
:
;
если
,
то
и тогда
.
Таким образом, по критерию коллинеарности
векторов векторы
и
коллинеарны.
О
пределение.
Базисом на прямой
называется любой ненулевой вектор на
этой прямой, базисом
на плоскости
– упорядоченная пара (
)
двух неколлинеарных векторов этой
плоскости, базисом
в пространстве
– упорядоченная тройка (
)
некомпланарных векторов.
Определение.
Базис
называется ортонормированным,
если образующие его векторы единичной
длины и попарно
ортогональные.
Примером является базис, обозначаемый
;
.
Совокупность фиксированной точки О
пространства и ортонормированного
базиса
называется декартовой
прямоугольной системой координат:
.
Точка О
называется началом
системы координат.
Определение.
Упорядоченная тройка некомпланарных
векторов (
)
называется правой,
если поворот по кратчайшему пути от
первого вектора
ко второму вектору
из конца вектора
виден против часовой стрелки. В противном
случае эта тройка называется левой
(рис. 4.9). Соответствующие системы
координат
называются правыми
или левыми.
В дальнейшем мы будем пользоваться только правыми системами координат.
Рис. 4.9
Если – единичные векторы (орты) координатных осей Ox, Oy, Oz соответственно прямоугольной системы координат Oxyz, то для любого вектора существует единственная упорядоченная тройка действительных чисел (x, y, z) такая, что
Равенство (4.20)
называется разложением
вектора
по базису
(
),
а коэффициенты разложения – координатами
вектора
в этом базисе. При этом пишут
или
.
Пусть
и
– два вектора, причем
.
Отложим эти векторы от некоторой точки
О;
получим векторы
и
,
пусть точка A1
– проекция точки А
на прямую ОВ
(рис. 4.10).
Определение.
Проекцией
вектора
на вектор
называется число
,
которое определяется следующим образом:
Рис. 4.10
Координаты x, y, z вектора в базисе – это его проекции на соответствующие координатные оси:
.
Длина
вектора
определяется по формуле:
Определение.
Направляющими косинусами
вектора
называются косинусы углов α, ,
,
которые вектор об-разует с координатными
осями Ox,
Oy,
Oz
соответственно:
(рис. 4.11). При этом
Имеет место
равенство:
.
Для единичного
вектора
,
имеющего направление вектора
,
имеем:
Рис. 4.11
Пусть даны два
вектора
и
.
Тогда:
1) векторы и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т. е.
.
2) при сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении вектора на число – умножаются на это число:
.
3) векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т. е.
Определение.
Вектор
,
соединяющий начало координат с
произвольной точкой пространства,
называется радиус-вектором
точки М.
Определение.
Координатами
точки М
называются координаты ее радиус-вектора
или
.
Если вектор
задан точками
и
,
то его координаты равны разности
соответствующих координат конечной и
начальной его точек:
При этом
Деление отрезка
в данном отношении.
Пусть даны две точки
и
,
и пусть точка
такая, что
.
Тогда координаты точки С
находятся по формулам
Координаты середины отрезка АВ (т.е. в 4.27) определяются равенствами:
П
ример
4.18. Даны
две точки
и
.
Найти координаты, модуль, направляющие
косинусы вектора
.
Решение.
Координаты вектора
находим по формуле (4.25). При этом
,
т. е.
.
Модуль вектора
находим по формуле (4.26):
.
Направляющие косинусы вычисляем по формулам (4.22):
.
П
ример
4.19. Даны
три последовательные вершины
параллелограмма:
.
Найти его четвертую вершину D.
Р
ешение.
Обозначим координаты вершины D
через x,
y,
z,
т. е. D(x,
y,
z).
Так как ABCD
– параллелограмм, то
.
Находим координаты векторов
и
:
,
т. е.
;
.
Из равенства векторов
и
следует, что
.
Отсюда находим:
.
Значит, D(4;
0; 6).
П
ример
4.20. При
каких значениях α и
векторы
и
коллинеарны?
Р
ешение.
Так как
и
,
то по условию (4.24)
.
Отсюда
и
.
Следовательно,
,
т. е. при
и
векторы коллинеарны.
П
ример
4.21. Найти
координаты вектора
,
если известно, что он направлен в
противоположную сторону к вектору
и его модуль равен 5.
Решение.
Так как и
,
то можно записать, что
,
где
.
Следовательно,
,
причем
(см. (4.21)).
О
тсюда
,
или
.
Значит,
,
а тогда
или
.
П
ример
4.22. Дана
сила
.
Найти величину
и направление силы
.
Решение. Величину силы находим, используя формулу модуля вектора (4.21). Имеем
.
Направляющие
косинусы вектора
определяем по формулам (4.22):
.
Итак,
З
начит,
сила
действует в направлении вектора,
образующего с координатными осями углы
.