4.11.2. Уравнение линии на плоскости

Определение. Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение , которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней. Переменные x и y в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Задача нахождения точек пересечения двух линий, заданных уравнениями и , сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Аналогично вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат: .

Линию на плоскости можно рассматривать как траекторию пути, пройденного точкой, движущейся по какому-нибудь закону. Если абсцисса точки изменяется по закону , а ордината – по закону , где t – переменная, называемая параметром, то уравнение линии записывается в виде

.

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями линии.

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением , где t – скалярный параметр; при изменении t конец вектора описывает некоторую линию, называемую годографом (рис. 4.17). Параметрические уравнения годографа: .

Рис. 4.17

Так, например, параметрическими уравнениями окружности с центром в точке О и радиуса R являются , а эллипса с полуосями a и b –

Здесь в качестве параметра t использован угол между осью Ox и вектором , где M – текущая точка кривой.

Примером векторного уравнения кривой является уравнение окружности диаметра 2R, центр которой лежит на полярной оси, а полюс системы координат лежит на окружности: .

4.12. Прямая на плоскости

Будем считать, что на плоскости задана прямоугольная декар-това система координат Oxy.

4.12.1. Различные виды уравнений прямой

Положение прямой на плоскости однозначно определяется какой-либо фиксированной точкой , лежащей на ней, и либо:

1) ненулевым вектором , перпендикулярным к прямой, который называется нормальным вектором прямой;

2) ненулевым вектором , параллельным прямой, который называется направляющим вектором прямой;

3) угловым коэффициентом прямой k, который равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ox;

4) еще одной точкой , не совпадающей с точкой .

В каждом из перечисленных случаев получаются свои уравнения прямой.

1) Заданы точка , лежащая на прямой, и нормальный вектор , т. е. и перпендикулярен прямой. Имеем следующие уравнения:

откуда получаем

где , причем (т. к. ).

Определение. Уравнение (4.34) называется общим уравнением прямой на плоскости.

Уравнение с условием называется уравнением первой степени с двумя переменными.

Если в уравнении (4.34) , то его можно привести к виду . Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, где a и b – длины отрезков с учетом знака, отсекаемых прямой на координатных осях Ox и Oy соответственно.

2) Даны точка прямой и направляющий вектор , т. е. и параллелен прямой.

Имеем уравнения:

или при условии :

Определение. Уравнения (4.35) называются параметрическими уравнениями, а (4.36) – каноническим уравнением прямой на плоскости.

Несложными алгебраическими преобразованиями уравнения (4.35) и (4.36) могут быть сведены к общему уравнению (4.34), т. е. к уравнению первой степени относительно x и y.

Замечание. В случае, когда одна из координат направляющего вектора равна нулю, запись уравнения прямой в канонической форме сохраняется в виде (4.36). При этом если в знаменателе стоит нуль, то к нулю нужно приравнять и числитель. Полученное равенство (или , или ) и будет уравнением прямой на плоскости.

3) Если заданы точка прямой и ее угловой коэффициент k, то уравнение с угловым коэффициентом имеет вид

После приведения подобных членов (4.37) можно записать и так: .

4) На прямой заданы две точки и . Тогда каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет следующий вид:

Все уравнения (4.35–4.38) можно записать в виде уравнения первой степени относительно x и y.

Вывод. Каждая прямая на плоскости Oxy определяется уравнением первой степени с двумя переменными x и y:

.

Верно и обратное: каждое такое уравнение первой степени относительно x и y задает на плоскости прямую.

Заметим, что нормальный и направляющий векторы прямой на плоскости связаны следующим образом: если , то (т. к. , то ).

Расстояние от точки до прямой l, заданной уравнением (4.34), вычисляется по формуле

Пример 4.34. Составить каноническое и общее уравнения прямой, проходящей через точки и . Найти угловой коэффициент этой прямой.

Решение. Для составления канонического уравнения воспользуемся формулой (4.38):

или – каноническое уравнение.

Общее уравнение получим из данного канонического, умножая обе части равенства на – 3, перенося все слагаемые в левую часть и приводя подобные члены:

– общее уравнение.

Чтобы получить угловой коэффициент прямой, выразим из общего уравнения y:

– уравнение с угловым коэффициентом вида . Следовательно, .

Пример 4.35. Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку М(–1, 2) перпендикулярно вектору, проходящему через точки М₁(3, 1) и М₂(4, –2). Найти расстояние от точки М до прямой, проходящей через точки М₁ и М₂.

Решение. Уравнение прямой запишем в виде (4.33):

A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0,

где x₀, y₀ – координаты точки М, а А и В – координаты нормального вектора.

Так как , то уравнение имеет вид 1(x + 1) – 3(y – 2) = 0 или x – 3y + 7 = 0.

Для нахождения расстояния от точки М до прямой М₁М₂ запишем уравнение этой прямой в виде (4.38):

т. е. ,

или 3x + y – 10 = 0.

Подставляя в формулу (4.39) координаты x₀ = –1, y₀ = 2 точки М, получаем

.

П ример 4.36. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀(1; –2) и образующей с осью Ox угол .

Р ешение. Найдем угловой коэффициент . Подставляя координаты данной точки М₀ и значение углового коэффициента в уравнение (4.37) получим искомое уравнение прямой: или – общее уравнение прямой.