4.12.2. Взаимное расположение прямых на плоскости

Две прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.

Определение. Под углом между прямыми в плоскости понимают наименьший (острый) из углов, образованных этими прямыми. Один из углов, образованных пересечением прямых, совпадает с углом между векторами нормали или направляющими векторами прямых.

1. Если две прямые l₁ и l₂ заданы общими уравнениями и , то величина  угла между ними вычисляется по формуле

где – векторы нормали прямых.

Условие пересечения прямых:

в частности, условие перпендикулярности прямых:

Условие параллельности прямых:

условие совпадения прямых:

2. Если прямые l₁ и l₂ заданы каноническими (параметрическими) уравнениями: и , то

где – направляющие векторы прямых.

Условие пересечения прямых:

параллельности прямых:

перпендикулярности прямых:

3. Если прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями с угловым коэффициентом , то

.

Условие пересечения прямых: ;

параллельности прямых:

;

совпадения прямых:

;

перпендикулярности прямых:

, т. е. .

Для нахождения точек пересечения прямых l₁ и l₂ нужно решить систему уравнений

Пример 4.37. Найти острый угол между прямыми, определяемыми уравнениями и . Найти точку пересечения этих прямых.

Решение. Запишем векторы нормалей этих прямых и воспользуемся формулой (4.40):

.

Следовательно, . Для того, чтобы найти точку пересечения прямых, составим и решим систему уравнений (4.49):

.

С кладывая оба уравнения, получим , откуда

П ример 4.38. Дана прямая . Через точку М₀(3; 2) проведена прямая: а) параллельно данной прямой; б) перпендикулярно данной прямой. Составить ее уравнение.

Решение. а) – вектор нормали исходной прямой. В силу параллельности прямых его можно считать и вектором нормали искомой прямой. Составляем уравнение прямой, проходящей через точку М₀(3; 2) перпендикулярно вектору (см. (4.33)):

, или .

б) В силу перпендикулярности прямых вектор нормали будет направляющим вектором для перпендикулярной прямой: . Составим каноническое уравнение прямой, походящей через точку М₀(3; 2) параллельно вектору (см. (4.36)):

– искомое уравнение.

4.13. Плоскость в пространстве

Будем считать, что в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz.

4.13.1. Различные виды уравнения плоскости

Однозначное расположение плоскости определяется

1) либо фиксированной точкой , лежащей на этой плоскости, и ненулевым вектором , перпендикулярным к плоскости, который называется нормальным вектором;

2) либо тремя точками и , не лежащими на одной прямой.

Рассмотрим эти случаи.

1. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

Если раскрыть скобки, привести подобные члены, обозначить , то будем иметь уравнение

которое называется общим уравнением плоскости.

Если в (4.51) все коэффициенты не равны нулю, то путем деления обеих частей уравнения (4.51) на (–D) получим уравнение

которое называется уравнением плоскости в отрезках. Здесь a, b, c – абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с координатными осями Ox, Oy, и Oz соответственно.

2. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки и , имеет вид:

Если вычислить этот определитель, то мы придем к уравнению вида (4.51), т. е. к общему уравнению плоскости.

Уравнением первой степени с тремя переменными называют уравнение

.

Вывод. Каждая плоскость в пространстве Oxyz определяется уравнением первой степени с тремя переменными

.

И наоборот, каждое уравнение первой степени относительно x, y, z определяет некоторую плоскость в пространстве.