3.3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

20. Производная функции. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования. Теорема о непрерывности дифференцируемых функций. Производная сложной функции. Непрерывность и дифференцируемость обратной функции.

21. Производные степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических, неявно и пара-метрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно-показательной функции.

22. Производные и дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы дифференциала выше первого порядка.

23. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя.

24. Формула Тейлора. Разложение функций по формуле Тейлора.

3.4. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков

25. Возрастание и убывание функции на заданном промежутке. Условия возрастания и убывания функции на данном промежутке. Точки экстремума функции. Необходимый признак экстремума. Достаточные признаки экстремума функции.

26. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на данном отрезке. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Признаки выпуклости и вогнутости графика функции. Необходимый и достаточный признаки существования точки перегиба. Асимптоты кривой. Общая схема исследования функции и построения графика.

27. Векторная функция скалярного аргумента. Предел, непрерывность и производная векторной функции скалярного аргумента. Геометрический и механический смысл производной. Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой.

28. Кривизна плоской линии. Радиус кривизны и круг кривизны. Понятие эволюты и эвольвенты. Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе.

4. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

4.1. Матрицы. Основные определения. Операции над матрицами

Определение. Матрицей размера m  n называется прямоугольная таблица из чисел вида

,

состоящая из m строк и n столбцов. Элементы матрицы A нумеруются двумя индексами. Для обозначения матриц применяются также и квадратные скобки. Так, элемент означает принадлежность третьей строке и второму столбцу. Сокращенно будем писать . Если , то матрица называется квадратной порядка n. Матрица может содержать только одну строку ( ) или один столбец ( ). Для квадратной матрицы элементы составляют главную диагональ. Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю; ее обозначают буквой O. Квадратная матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной. Единичная матрица обозначается буквой E. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной. Ее обозначают . Так, если , то , причем .

Основными операциями над матрицами являются: сложение (вы-читание) матриц; умножение матриц на число; умножение матриц. Операции сложения (вычитания) вводятся только для матриц одинаковых размеров.

Определение. Суммой матриц и одинаковых размеров называется матрица того же размера , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B:

Аналогично вводится понятие разности двух матриц .

Определение. Произведением матрицы и числа α называется матрица такая, что и

П ример 4.1. Найти матрицу X, удовлетворяющую условию , где .

Решение. В данном случае и, следовательно,

Произведение матрицы A и матрицы B вводится только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, т. е. если A – матрица размера , то B должна иметь размер .

Определение. Произведением AB матрицы и мат-рицы называется матрица , элементы которой находятся по формуле

или .

Если существует произведение , то произведение может и не существовать. Может быть, что при существовании . Если , то матрицы A и B называются перестановочными (или коммутирующими).

П ример 4.2. Найти произведение матриц и .

Решение.

О твет: .

Заметим, что и произведение существует:

, причем .