4.13.2. Взаимное расположение плоскостей

Пусть две плоскости заданы своими общими уравнениями

Различают следующие случаи взаимного расположения плоскостей: 1) пересекаются по прямой; 2) параллельны; 3) совпадают.

У словие пересечения: соответствующие коэффициенты при x, y, z в (4.54), (4.55) не пропорциональны, т. е. , здесь . При этом условие перпендикулярности плоскостей имеет вид:

Условия параллельности плоскостей (4.54) и (4.55):

совпадения плоскостей:

Углом между плоскостями (4.54) и (4.55) называется угол между их нормальными векторами и .

Поэтому косинус угла  между ними находится по формуле

Величина меньшего угла между плоскостями вычисляется по формуле

Расстояние d от точки до плоскости находится по формуле:

П ример 4.39. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₀(2; 1; –1) перпендикулярно вектору .

Решение. Воспользуемся формулой (4.50):

.

О тсюда , а значит, – общее уравнение искомой плоскости.

П ример 4.40. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(–2; 3; 1) параллельно плоскости Oxy.

Р ешение. В качестве вектора нормали плоскости Oxy можно взять базисный вектор , который будет служить и вектором нормали искомой плоскости. Далее по формуле (4.50) или .

П ример 4.41. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки .

Решение. Используя формулу (4.53), получим

о бщее уравнение искомой плоскости.

П ример 4.42. Найти угол между двумя плоскостями: .

Решение. Нормальный вектор первой плоскости , второй – . Следовательно, по формуле (4.59)

З начит, угол  тупой, . Острый угол находится из соотношения: .

П ример 4.43. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями: .

Решение. – вектор нормали обеих плоскостей. Для решения задачи найдем какую-либо точку на первой плоскости и вычислим расстояние от этой точки до второй плоскости. Для этого положим в первом уравнении , тогда . Отсюда . Следовательно, М₀(0; 0; –6) – точка, лежащая на первой плоскости. Тогда по формуле (4.61) имеем:

, т. е. .

4.14. Прямая в пространстве

4.14.1. Различные уравнения прямой в пространстве

Положение прямой в пространстве однозначно определяется:

1) заданием точки этой прямой и ненулевого вектора , параллельного прямой, который называется направляющим вектором прямой;

2) заданием двух точек и на этой прямой;

3) пересечением двух непараллельных плоскостей.

Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , имеют следую-щий вид:

а ее параметрические уравнения:

Канонические уравнения прямой, проходящей через две точки и , имеют вид

Общими уравнениями прямой называется система уравнений

т. е. прямая задается пересечением двух плоскостей. Направляющий вектор прямой (4.65) находится по формуле:

4.14.2. Взаимное расположение прямых в пространстве

Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:

Возможны следующие случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве: 1) прямые параллельны; 2) совпадают; 3) пересекаются в одной точке; 4) прямые скрещиваются.

Условия параллельности прямых (4.67) и (4.68):

; и вектор не коллинеарен векторам и .

Условия совпадения прямых:

.

Условия пересечения прямых:

(условие компланарности векторов и ) и векторы и некол-линеарны.

Условия скрещивающихся прямых (т. е. прямые не лежат в одной плоскости):

(условие некомпланарности векторов и ).

Заметим, что является условием того, что прямые (4.67) и (4.68) лежат в одной плоскости.

Под углом между прямыми (4.67), (4.68) понимают угол между направляющими векторами и . Величина этого угла  определяется формулой:

Условие перпендикулярности двух прямых:

, т.е. .

П ример 4.44. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(4; 3; –2) параллельно 1) вектору ; 2) прямой

Решение. 1) Вектор является направляющим вектором искомой прямой, проходящей через точку М₀. Тогда по формуле (4.62) канонические уравнения прямой примут вид:

.

Используя (4.63), параметрические уравнения прямой запишутся в виде:

.

2) Направляющий вектор заданной в условии прямой находим по формуле (4.66):

,

т. е. .

Вектор может служить направляющим вектором и искомой прямой, т. к. прямые параллельны. Получаем канонические урав-нения:

,

а параметрические уравнения имеют вид:

.

П ример 4.45. Найти уравнения прямой, проходящей через две точки М₁(2; 2; 2) и М₂(6; 2; 1).

Решение. Воспользуемся уравнениями (4.64):

или .

Запись уравнений прямой в канонической форме сохраняется и в случае обращения отдельных координат вектора в ноль. Если в знаменателе стоит ноль, то нулю нужно приравнять и числитель, т. е. уравнения можно записать в виде: или – это общие уравнения прямой в пространстве. При этом параметрические уравнения имеют вид:

П ример 4.46. Найти угол между прямыми и .

Решение. и – направляющие векторы первой и второй прямых соответственно. Тогда по фор- муле (4.69)

П ример 4.47. Установить взаимное расположение прямых:

1) и

2) и .

Р ешение. 1) Выпишем направляющие векторы первой и второй прямых: , . Так как координаты этих векторов пропорциональны: , то . Следовательно, данные прямые параллельны или совпадают. Возьмем точки М₁(2; 0; –1) и М₂(5; 4; 3), лежащие на прямых. Получим вектор . Так как и , то прямые параллельны.

2) Координаты направляющих векторов , дан-ных прямых не пропорциональны: . Следовательно, прямые либо пересекающиеся, либо скрещивающиеся. Проверим условие принадлежности двух прямых одной плоскости: . Данные прямые проходят через точки М₁(0; 1; –2) и М₂(–4; –3; 1). Имеем:

С ледовательно, данные прямые – скрещивающиеся.

П ример 4.48. Общие уравнения прямой преобразовать к каноническому виду.

Решение. Нам надо знать какую-либо точку на прямой и ее направляющий вектор . Выберем точку на прямой следующим образом: положим, например, ; тогда для нахождения абсциссы x и ординаты y этой точки получим систему уравнений: , из которой находим . Значит, – точка пря-мой. Направляющий вектор прямой находим по формуле (4.66):

,

т . е. . Тогда, согласно формуле (4.62): – искомые канонические уравнения прямой.