Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Метод 1.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
2.93 Mб
Скачать

4.8. Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением ненулевых векторов и называется число, которое обозначается или и определяется равенством

Frame31

т. е. число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. По определению .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1)  (коммутативность);

2)  (дистрибутивность);

3)  (ассоциативность относительно скалярного множителя);

4)  (или или ) (критерий ортогональности);

5)  (скалярный квадрат вектора);

6)  .

Если векторы и заданы координатами в ортонормированном базисе , то

1)  ;

2)  (следует из свойства 5);

3)  (вытекает из формулы (4.29) и формул для вычисления и ).

4)  (следует из свойства 6).

Механический смысл скалярного произведения – это работа А, производимая силой , точка приложения которой перемещается по отрезку М1М2 из точки М1 в точку М2:

.

П ример 4.23. Даны векторы Найти .

Решение. Так как векторы заданы координатами в ортонормированном базисе , а то

.

Поэтому .

О твет: .

П ример 4.24. Найти , если ; .

Решение. Используя свойства 1, 2, 3, 5 скалярного произведения, имеем:

О твет: – 34.

П ример 4.25. Какую работу производит сила , когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки в точку ?

Решение. Используя механический смысл скалярного произведения, имеем .

Найдем координаты вектора :

.

Тогда .

О твет: 20.

4.9. Векторное произведение векторов

Определение. Векторным произведением вектора и вектора называется вектор , удовлетворяющий трем условиям:

1) ;

2) ;

3) упорядоченная тройка векторов – правая (рис. 4.12).

Обозначение: или .

Рис. 4.12

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1) (антикоммутативность);

2) (дистрибутивность);

3) (ассоциативность относительно скалярного множителя);

4) (критерий коллинеарности);

5) геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , отложенных от одной точки:

;

6) механический смысл векторного произведения: момент силы , приложенной в точке В, относительно точки А определяется равенством: .

Если векторы и заданы в ортонормированном базисе координатами , то

Frame32

Пример 4.26. Найти площадь и длину высоты BD треугольника с вершинами в точках А(1, –2, 8), В(0, 0, 4), С(6, 2, 0).

Решение. Поскольку площадь S треугольника АВС равна , то (рис. 4.13).

Рис. 4.13

1. Находим координаты векторов и длину вектора :

2. Находим S:

3 .

П ример 4.27. Сила приложена в точке В(0; 1; –2). Найти , если А(1; –1; 2).

Решение. Согласно определению момента силы , находим координаты вектора , тогда

.

О твет: .

П ример 4.28. Найти единичный вектор , перпендикулярный каждому из векторов и .

Решение. Векторное произведение даст вектор, который ортогонален каждому из векторов и . Найдем (см. (4.30)):

.

Тогда .

О твет: .