
- •Часть 1
- •Оглавление
- •5. Введение в математический анализ 109
- •6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 121
- •7. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков 144
- •Введение
- •1. Общие рекомендации студенту заочной формы обучения по работе над дисциплиной «математика»
- •Работа студента с учебником
- •Решение задач
- •Самопроверка
- •Консультации
- •Контрольные работы
- •Лекции и практические занятия
- •Зачеты и экзамены
- •2. Правила выполнения и оформления контрольных работ
- •3. Программа дисциплины «математика» на I семестр
- •3.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •3.2. Введение в математический анализ
- •3.3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •3.4. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков
- •4. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •4.1. Матрицы. Основные определения. Операции над матрицами
- •4.2. Определители. Миноры и алгебраические дополнения
- •4.3. Обратная матрица
- •4.4. Ранг матрицы
- •4.5. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Решение невырожденных линейных систем. Матричный метод. Формулы Крамера
- •Умножения уравнения системы на число, отличное от нуля;
- •Прибавления к одному уравнению другого, умноженного на любое число;
- •Перестановки местами двух уравнений системы.
- •4.6. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера–Капелли. Метод Гаусса
- •4.7. Векторы. Линейные операции над векторами. Разложение векторов. Координаты вектора
- •4.8. Скалярное произведение векторов
- •4.9. Векторное произведение векторов
- •4.10. Смешанное произведение векторов
- •4.11. Полярная система координат. Уравнение линии на плоскости
- •4.11.1. Полярная система координат
- •4.11.2. Уравнение линии на плоскости
- •4.12. Прямая на плоскости
- •4.12.1. Различные виды уравнений прямой
- •4.12.2. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •4.13. Плоскость в пространстве
- •4.13.1. Различные виды уравнения плоскости
- •4.13.2. Взаимное расположение плоскостей
- •4.14. Прямая в пространстве
- •4.14.1. Различные уравнения прямой в пространстве
- •4.14.2. Взаимное расположение прямых в пространстве
- •4.15. Прямая и плоскость в пространстве
- •4.16. Кривые второго порядка
- •4.16.1. Окружность
- •4.16.2. Эллипс
- •4.16.3. Гипербола
- •4.16.4. Парабола
- •4.17. Поверхности второго порядка
- •4.17.1. Цилиндры и конусы
- •4.17.2. Канонические уравнения поверхностей второго порядка
4.8. Скалярное произведение векторов
Определение.
Скалярным
произведением ненулевых
векторов
и
называется число, которое обозначается
или
и определяется равенством
т. е. число,
равное произведению длин этих векторов
на косинус угла
между ними. По определению
.
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1)
(коммутативность);
2)
(дистрибутивность);
3)
(ассоциативность относительно скалярного
множителя);
4)
(или
или
)
(критерий ортогональности);
5)
(скалярный квадрат вектора);
6)
.
Если векторы
и
заданы координатами в ортонормированном
базисе
,
то
1)
;
2)
(следует из свойства 5);
3)
(вытекает из формулы (4.29) и формул для
вычисления
и
).
4)
(следует из свойства 6).
Механический смысл скалярного произведения – это работа А, производимая силой , точка приложения которой перемещается по отрезку М1М2 из точки М1 в точку М2:
.
П
ример
4.23. Даны векторы
Найти
.
Решение.
Так как
векторы
заданы координатами в ортонормированном
базисе
,
а
то
.
Поэтому
.
О
твет:
.
П
ример
4.24. Найти
,
если
;
.
Решение. Используя свойства 1, 2, 3, 5 скалярного произведения, имеем:
О
твет:
– 34.
П
ример
4.25. Какую работу производит сила
,
когда точка ее приложения, двигаясь
прямолинейно, перемещается из точки
в точку
?
Решение.
Используя
механический смысл скалярного
произведения, имеем
.
Найдем координаты вектора :
.
Тогда
.
О
твет:
20.
4.9. Векторное произведение векторов
Определение. Векторным произведением вектора и вектора называется вектор , удовлетворяющий трем условиям:
1)
;
2)
;
3) упорядоченная
тройка векторов
– правая (рис. 4.12).
Обозначение:
или
.
Рис. 4.12
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
1)
(антикоммутативность);
2)
(дистрибутивность);
3)
(ассоциативность относительно скалярного
множителя);
4)
(критерий коллинеарности);
5) геометрический
смысл векторного
произведения: модуль векторного
произведения
равен площади
параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
отложенных от одной точки:
;
6) механический
смысл
векторного произведения: момент
силы
,
приложенной в точке В,
относительно точки А
определяется равенством:
.
Если векторы
и
заданы в ортонормированном базисе
координатами
,
то
Пример 4.26. Найти площадь и длину высоты BD треугольника с вершинами в точках А(1, –2, 8), В(0, 0, 4), С(6, 2, 0).
Решение.
Поскольку площадь S
треугольника АВС
равна
,
то
(рис. 4.13).
Рис. 4.13
1. Находим координаты
векторов
и длину
вектора
:
2. Находим S:
3
.
П
ример 4.27. Сила
приложена в точке В(0; 1; –2).
Найти
,
если А(1; –1; 2).
Решение. Согласно
определению момента силы
,
находим координаты вектора
,
тогда
.
О
твет:
.
П
ример
4.28. Найти
единичный вектор
,
перпендикулярный каждому из векторов
и
.
Решение. Векторное произведение даст вектор, который ортогонален каждому из векторов и . Найдем (см. (4.30)):
.
Тогда
.
О
твет:
.