2.2 Фундаментальные законы реологии и механи­ческие модели деформируемой среды

В технике различают деформации растяжения (сжатия), сдвига, кручения и т. д. В механике сплошной среды (МСС) доказывается, что в случае несжимаемых ма­териалов, каковыми явля­ются многие дисперсные системы, основной можно считать деформацию сдви­га, тогда как остальные представляет различные комбинации этого основного вида деформации. Количественную меру сдвига можно установить на примере деформации образца в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Схема сдвиговой деформации

Деформирующее усилие Р приложено по касательной к верхней грани площадью S. Нижняя грань закреплена неподвижно. Деформация материала должна выражаться величиной, не зависящей от его формы и размера. В данном случае это отношение γ = l/L, которое может быть выражено величиной γ = dx/dz для каждого элемента внутри образца. Соответственно, напряжение τ = F/S, приложенное к верх­ней грани, равно напряжению, действующему на грань любого элемента, параллельную плоскости ху. Скорость деформации является в данном случае скоростью сдвига. Так как время t и координата z - независимые переменные, то, изменив порядок дифференцирования, получим

т.е. скорость деформации при простом сдвиге равна градиенту скорости течения du/dz. Реологические законы должны устанавливать связь между значениями через константы, характеризующие ма­териал. Следовательно, в упругом материале, для кото­рого характерна пропорциональность деформации γ напря­жению τ,

τ = Gγ (2.1)

Такого рода связь между τ и γ является выражением закона Гука. Величина G - модуль сдвиговой упругости - полностью** характеризует реологические

* В МСС скорость деформации и градиент скорости течения du/dz не совпадают по величине. Однако эти величины при простом сдвиге можно считать равными.

** Разумеется, в пределах применимости этих законов. Здесь и в дальнейшем исключаются из рассмотрения силы инерции, ко­торые возникают при числе Рейнольдса Re >> 1, электро- и магнитогидродинамические силы и другие специфические силы.

cвойства упру­гого материала. Необходимо отличать упругость материала от упру­гости тела (изделия). Так, упругость параллелепипеда (рис. 2.1) равна GS, а упругость нити при кручении G_k = πr⁴G/2L, где 2r - диаметр и L - длина нити.

В чисто вязком материале (жидкости) напряжение пропорционально скорости деформации:

(2.2)

т.е. реологические свойства жидкости при сдвиге пол­ностью характеризуются ее вязкостью (в ламинарном режиме течения). Постоянство величины η при изменении τ или и составляло первоначально основное содержа­ние закона Ньютона (2.2). Впоследствии эта формула приобрела более широкий смысл. Не менее важную роль, чем силы упругости и вязкого трения, играют силы внешнего (или сухого) трения, действующие, например, в подшипнике скольжения. При напряжении τ, меньшем напряжения сухого трения τ_с, деформация (сдвиг) отсутствует; при напряжении, превы­шающем силу сухого трения на бесконечно малую вели­чину, сдвиг и скорость сдвига могут быть сколь угодно большими, т. е.

γ = 0, = 0 при τ < τ_c (2.3)

при τ = τ_c

Иначе говоря, сила сухого трения не зависит от ско­рости скольжения или, что то же самое, к элементу су­хого трения (2.2) невозможно приложить усилие, превышающее величину τ_c. Как только напряжение пре­высит τ_c, начнется скольжение, скорость которого этим законом не лимитируется, и элемент уже не оказывает дополнительного сопротивления. По этой причине во вто­рой строке закона (2.3) нельзя написать τ ≥ τ_c вместо τ = τ_c.

Рис. 2. 2. Механические эквиваленты упругого (а), вязкого (б) и сухого (в) сопротивления деформации

Реальные материалы сочетают в разных комби­нациях свойства идеального упругого и вязкого тела и элемента сухого трения. Это можно показать с помощью механических моделей реальных материалов, составлен­ных из механических эквивалентов (моделей) идеальных реологических тел (рис. 2.2. и рис. 2.3). Эквивалентом упругих свойств является пружина (рис. 2.2, а), вязкого трения - сопротивление поршня, помещенного в жидкость, (рис. 2.2, б) и сухого тре­ния - груз, лежащий на плоскости (рис. 2.2, в).

Тело Максвелла (рис. 2.3, а) представляет модель вязкоупругой жидкости. Примером такой жидкости является полиизобутилен. Если мгновенно вы­звать деформацию величиной γ₀, (например, переместить цилиндр до упора D) и далее удерживать ее постоянной, то в первый момент времени эта деформация будет цели­ком обусловлена растяжением пружины, поскольку упругая часть деформации, γ_f = τ/G, не требует для своего развития какого-либо времени. С течением времени t упру­гая деформация уменьшается, а необратимая, при условии γ₀ = const, - растет:

γ_f = γ₀exp(-Gt/η) (2.4)

Так как и τ = γ_fG и τ₀ = γ₀G , то одновременно с упругой деформацией уменьшается во времени и величина напря­жения, необходимого для сохранения первоначальной деформации γ₀:

τ = τ₀exp(-Gt/η) (2.5)

По истечении достаточно большого времени по срав­нению с величиной η/G (теоретически бесконечно боль­шого) значение τ становится практически равным нулю, т. е. для сохранения деформации γ₀ уже не требуется приложения силы и деформация целиком становится необратимой. Полная необратимость деформации является признаком жидкости, поэтому тело Максвелла следует относить к жидкостям. Величина t ^*= η/G представляет время релаксации

Рис. 2. 3. Механические модели тел Максвелла (а), Кель­вина (б) и Шведова - Бингама (в)

напряжений в вязкоупругом материале, или время релаксации упругой деформации. Аналогично, если, начиная с мо­мента времени t = 0, начать деформацию тела с постоянной скоростью , то необходимое для этого напряжение будет расти во времени по закону

τ = η [1-exp(-t/t^*)] (2.6)

Тело Кельвина (рис. 2.3, б) является моделью вязкоупругого твердого материала, например, набухшего в масле каучука. Приложенное к нему напряжение распределяется между упругим Gγ и вязким η сопротивлениями деформации:

τ = Gγ + η (2.7)

Если устранить деформирующее усилие τ, то упругие внутренние напряжения будут возвращать тело Кельвина в недеформированное состояние, а вязкие силы будут тормозить этот процесс релаксации деформации. Убыва­ние первоначальной деформации γ₀ после разгрузки ма­териала, т.е. при τ = 0, соответствует закону

γ = γ₀ exp(-t/t^*) (2.8)

Умножив левую и правую части этой формулы на G, полу­чим закон убывания внутренних упругих напряжений τ_f во времени:

τ_f = τ₀ exp(-t/t^*) (2.9)

При мгновенном нагружении постоянной силой τ = γ_∞G деформация изменяется во времени в соответствии с фор­мулой

γ = γ_∞[1- exp(-t/t^*)]

а скорость деформации уменьшается от начальной вели­чины γ₀ до нуля при t = ∞

= [1- exp(-t/t^*)] , = γ_∞/t^* (2.10)

По истечении времени, достаточно большего по сравнению со временем релаксации t^*, деформация достигает постоянной равновесной величины γ_∞, а после снятия нагрузки она исчезает, что и является признаком твер­дого тела.

Время релаксации вязкоупругого твердого тела имеет смысл времени запаздывания в установлении равновесной деформации. При кратковременном действии сил реологические свойства тела Максвелла и Кельвина обращаются: первое ведет себя как упругий материал, а второе как вязкая жидкость. Это обусловлено тем, что за малое время в пер­вом не успевают развиваться остаточные деформации, про­порциональные времени, а во втором - из-за малости дефор­мации несуществен вклад упругих сил в общее сопро­тивление. Материалы, способные к большим обратимым (т.е. уп­ругим) деформациям, называют эластичными. Мерой эластичности является наибольшая величина обратимой деформации. Превышение этой величины вызывает или развитие необратимых деформаций (течение у пластичных материалов), или разрушение у хрупких материалов.

Наличие сил сопротивления, подобных сухому трению, придает материалам пластичность - способность деформироваться при умеренных усилиях и сохранять форму, т. е. остаточную деформацию при малых усилиях, например, создаваемых силой тяжести. Это одно из наиболее важных для технологии свойств материалов. Сочетание сил вязкого и сухого трения приводит к появлению вязкопластических свойств. В соответствии с моделью (рис. 2.3, в) скорость деформации (скорость скольжения груза по плоскости на рис. 2.2, б) определяется силой, приложенной к элементу вязкого сопротивления, т. е.

=(τ - τ_с)/η ^*

откуда

при τ > τ_с, = 0 при τ ≤ τ_с . (2.11)

Эти соотношения представляют уравнения реологии вязкопластических материалов. Первое из них известно как уравнение Шведова-Бингама. Следует, конечно, иметь в виду, что оно имеет смысл только при τ > τ_с. Величина ή^* получила название пластической вязкости. Возможны и другие, в том числе, более сложные сочетания основных реологических элементов, адекватность которых реальным материалам достигается подбором величин t^*, η ^*, η, τ_c , G.