2.5. Модель Эйнштейна

_{Реологические свойства устойчивой разбавленной дисперсной системы вследствие отсутствия взаимодействия частиц определяются поведением в потоке отдельной} частицы, так что диссипацию энер­гии во всей системе можно найти простым суммированием энергии на отдельных частицах.

Пусть в сдвиговом потоке сферическая частица перемещается со скоростью u, равной скорости потока жидкой среды в той плоскости, в которой лежит центр частицы (рис. 2..13). В плоскостях, отстоящих от центра частицы па расстоянии ее радиуса, скорость среды отличается на величину ± u = а. Поэтому частица кроме поступ^{ательного движения вовлекается во вращательное движен}|ие со скоростью, равной /2. Рассеяние энергии вследствие трения поверхности частицы о среду обусловлено только этим

Рис.. 2. . 13. Вращение частицы в потоке среды.

вращательным движением, так как в поступательном движении центр частицы неподвижен относительно потока в плоскости расположения центра.

Решение этой задачи, выполненное Эйнштейном, приводит к формуле

(2.19)

где η₀ - вязкость дисперсионной среды; φ - объемная доля дисперсной фазы в коллоидной системе. Таким образом, вязкость взвеси невзаимодействующих частиц не зависит от размера частиц. Наиболее важный результат теории Эйнштейна состоит в установлении того, что такая дисперсная система является ньютоновской жидкостью. Заранее это никак не предпола­галось. Так как формула (2.19) получена при решении гидродинамической задачи о потоке в окрестности сферической частицы, то она справедлива при размере частиц, намного большем размера молекул. В противном случае среду нельзя считать сплошной по отношению к частице и гидродинамический подход становится необоснованным. Это подтверждается неприменимостью формулы (2.19) к растворам низкомолекулярных веществ.

Если взвешенные частицы являются жидкими или газо­образными, то поток среды в меньшей мере тормозится об их поверхность и вязкость снижается

(2.20)

Анизодиаметрия частиц ведет к увеличению вязкости и появлению слабых неньютоновских свойств вследствие зависимости ориентации частиц от . Согласно (2.27), дробление частиц, капелек и пузырьков газа в потоке не меняет вязкость, однако эта формула игнорирует неотъемлемую «деталь» устойчивых взвесей – наличие на поверхности частиц различного рода защитных оболочек двойного электрического, адсорбционного, сольватного слоев. В рамках теории Эйнштейна их можно учесть путем увеличения объема частиц на величину объема защитных оболочек, т. е. принять, что

φ = φ_Т (2.21)

где φ_Т = 4πna³/4 и δ - толщина оболочки. В случае двойного электрического слоя φ зависит также от электрокинетического потенциала и вязкости среды η₀. Ньютонов­ские свойства при этом не теряются, так как ξ-потенциал не зависит от скорости деформации среды.

Теория Эйнштейна может быть распространена на концентрированные устойчивые взвеси. Идея, которая дает такую возможность, заключается в том, что дисперсную систему любой концентрации φ, имеющую вязкость η, можно рассматривать как растворитель, в который введено некоторое малое количество dφ дисперсной фазы; таким образом, вязкость системы становится равной η +dη. В соответствии с формулой Эйнштейна η + dη = η(1+2.5dφ). Решение этого уравнения при условии, что η = η₀ при φ = 0, дает

η = η₀ exp(2.5φ) (2.22)

Разлагая экспоненту в ряд, можно этот результат записать в другой, часто употребляемой форме

(2.23)

Здесь α = 2,5, а о величине коэффициента β и последующих коэффициентах в разложении высказываются различные мне­ния. Однако существенно, что в любом случае система остается ньютоновской.

Конечно, распространение теории Эйнштейна на концентриро­ванные взвеси имеет формальный характер и не может дать ответа на вопрос о концентрационном пределе сохра­нения ньютоновских свойств. Для этого необходимо при­нимать во внимание не только гидродинамическое взаимо­действие частиц со средой, но и их непосредственное взаимодействие между собой.

9