Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
7.Элементы мат мод.doc
Скачиваний:
8
Добавлен:
05.11.2018
Размер:
184.32 Кб
Скачать

Тема 7: Элементы математического моделирования

«Модель – это представление объекта, системы или идеи в некоторой форме, отличной от самой целостности».

Р. Шеннон

Под моделью (от лат modulus – мера, образец, норма) понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты. Процесс построения и использования модели называется моделированием.

Два подхода к построению моделей

Способов построения моделей существует великое множество, ибо, пытаясь разобраться в сложившемся положении вещей, можно совершенно по-разному упрощать его в надежде вскрыть суть явления, а затем и разрешить.

Правда, не стоит забывать, что нередко упрощенческие подходы к сложным явлениям несут в себе значительную долю опасности.

Можно выделить два подхода к построению моделей (моделированию) тех или иных явлений, событий, обстоятельств, называя один из них западным, а другой восточным.

Западный. В небогатой философами Америке жил в XIX в своеобычный человек по имени Генри Торо (наиболее известная его работа «Уолден или жизнь в лесу» переведена на русский язык). Ему принадлежат слова: «Мы часто принимаем полутораумных людей как полоумных, потому что нам доступна лишь треть их ума.»

Весьма нетривиальное высказывание, декларирующее по сути бесконечное уважение ко всякому человеку. А вот – математическая формула, навеянная этим высказыванием и в известном смысле точно его передающая: .

Выписанное равенство определяется сформулированной сентенцией, оно абсолютно правильно, но способно заменить это высказывание в очень малой степени – формула отражает лишь количественную сторону высказывания, но почти абстрагируется от его смысла.

Восточный. Однажды шах, отличавшийся крутым нравом, пожелал иметь свой парадный портрет. Это пожелание шаха само по себе ничего страшного не таило, однако художник, которому была оказана столь высокая честь, впал в отчаяние. И было отчего: шах был кривым на один глаз.

Конечно, можно было бы написать портрет шаха с двумя глазами. Но такой портрет вряд ли понравился бы заказчику – слишком явной была бы неправда. Можно было бы изобразить шаха, как есть – одноглазым. Но это вызвало бы шахский гнев (в этом чувства шаха вполне понятны и нам – неудачная фотография если и сохраняется, то на почетном месте обычно не вывешивается).

Казнь, как неизбежное следствие шахского гнева, казалась неминуемой. Однако жизнелюбивый художник после мучительных размышлений выход все же нашел.

Шах был изображен на охоте – восседая на великолепном коне, он целился из лука в не менее великолепного оленя. Один глаз был зажмурен.

Нужно ли объяснять, какой именно?

Во всех случаях портрет передает лишь часть того, что можно было бы рассказать о человеке. Отбор этой части определяется целью. У художника их было две – написать парадный портрет шаха и остаться живым.

Три типа моделей

Различают три типа моделей – физические, аналоговые и математические модели.

Физические модели. Так называют увеличенное или уменьшенное описание объекта или системы. Отличительная характеристика физической модели состоит в том, что в некотором смысле она выглядит как моделируемая целостность. Примером физической модели может служить игрушечная машинка, кукла, всем известны из астрономии модель солнечной системы, а из химии – модель атома или молекулы и т.п.

Применяются физические модели в машиностроении, самолетостроении, архитектуре и т.д.

Например, на одном из этапов разработки самолета новой конструкции возникает необходимость проверить его основные аэродинамические параметры. С этой целью подготовленную копию (модель) продувают в специальной (аэродинамической) трубе, а полученные показания затем тщательно исследуют. Выгода такого подхода очевидна. И потому все ведущие самолетостроительные компании используют физические модели подобного рода при разработке каждого нового летательного аппарата.

Аналоговые модели. Так называют модели, представляющие исследуемый объект аналогом, который ведет себя как реальный объект, но не выглядит как таковой.

Примерами аналоговых моделей являются графики, таблицы, диаграммы, карты (местности).

Например, нужно найти наиболее экономичный способ для регулярных известных поставок товаров в три города, построив для этого только один склад. Основное требование: место для склада должно быть таким, чтобы полные транспортные расходы были наименьшими (считается, что стоимость каждой перевозки равна произведению расстояния от склада до пункта назначения на общий вес перевозимых товаров и измеряется в тонно-километрах).

Наклеим карту местности на лист фанеры. Затем в месте нахождения каждого города просверлим сквозные отверстия, пропустим через них нити и привяжем к ним грузики, пропорциональные запросам товаров в этот город. Свяжем свободные концы нитей в один узел и отпустим. Под действием силы тяжести система придет в состояние равновесия. То место, которое при этом займет узел, и будет соответствовать оптимальному расположению склада.

Математические модели. Так называют модели, использующие для описания свойств и/или характеристик объекта или события математические символы и методы.

Если некоторую проблему удается перенести на язык формул, то она сильно упрощается. Математический подход прост еще и потому, что он подчиняется вполне определенным жестким правилам, которые нельзя отменить указом или иным способом.

Сложность нашей жизни как раз и состоит в том, что многое, что в ней случается, нередко свободно от пут каких бы то ни было условностей.

Математика имеет дело с упрощенным описанием явлений. По-существу, любая формула (или совокупность формул) представляет собой определенный этап в построении математической модели.

Опыт показывает, что построить модель (написать уравнение, неравенство или систему уравнений или неравенств) довольно легко. Трудно в этой модельной и, следовательно, упрощенной форме суметь передать суть изучаемого явления.

«Для нахождения приемлемого или оптимального решения задачи полезно знать, в чем она состоит. Как ни просто и прозрачно данное утверждение, чересчур многие … игнорируют очевидное.» Р. Шеннон