13.2. Связь между энергетическим спектром и акф сигнала

Допустим, что некоторый импульсный сигнал u(t) имеет спектральную плотность S(ω). C помощью (13.1) определим АКФ, записав заданный сигнал u(t) в виде обратного преобразования Фурье (1.17):

.

Для упрощения вычислений введем новую переменную х = t - τ. Затем,

сделав в последнем выражении ряд перестановок, получим

. (13.4)

Здесь интеграл (13.5) есть функция, комплексно-сопряженная со спектральной плотностью сигнала S(ω). Поэтому формула (13.4) примет вид:

(13.6)

Функцию W_И(ω) = S(ω) S*(ω) = | S(ω)|² (13.7)

называют энергетическим спектром (спектральной плотностью энергии) сигнала, который показывает распределение его энергии по оси частот. Физическая размерность энергетического спектра сигнала W_И(ω) – В² с/Гц.

Учитывая соотношение (13.7), окончательно получим выражение для АКФ аналогового детерминированного сигнала

(13.8)

Как следует из этой формулы, автокорреляционная функция представляет собой обратное преобразование Фурье от энергетического спектра. Очевидно, что имеется и прямое преобразование Фурье от автокорреляционной функции:

\ (13.9)

Прямое преобразование Фурье (13.9) автокорреляционной функции соответствует энергетическому спектру, а обратное преобразование Фурье энергетического спектра (13.8) – автокорреляционной функции детерминированного сигнала.

Данные результаты имеют фундаментальное значение в радиоэлектронике и важны по двум причинам:

1. Исходя из распределения энергии по спектру, становится возможным оценить корреляционные свойства сигналов – чем шире энергетический спектр сигнала, тем меньше интервал корреляции. Соответственно, чем больше интервал корреляции сигнала, тем короче (в частотной области) его энергетический спектр.

2. Соотношения (13.8) и (13.9) позволяют экспериментально определить одну из функций по значению другой.

На практике часто удобнее вначале получить автокорреляционную функцию, а затем с помощью прямого преобразования Фурье вычислить энергетический спектр сигнала. Этот прием широко применяется при анализе свойств сигналов в реальном масштабе времени, т.е. без временн′ой задержки при его обработке.

13.3. Шумоподобные сигналы

В настоящее время в теоретической радиотехнике, теории электросвязи, теории информации и прикладной математике усиленно разрабатываются методы синтеза сигналов с заданными (оптимальными) автокорреляционными и спектральными свойствами. Если рассматривать последовательности из n импульсов прямоугольной формы, которые в соответствии с номером позиции М могут принимать значения ±1, то простым перебором можно найти такие последовательности, для которых

Е = nЕ₁, (13.10)

где В(0) – автокорреляционная функция; Е – энергия всего сигнала, Е₁ – энергия одного элемента.

В иностранной технической и научной литературе такие сигналы принято называть шумоподобными сигналами (ШПС), сигналами без несущей, сигналами с рассеянным спектром или секвентными сигналами. В основе структуры секвентного сигнала и его анализа лежит понятие секвента. По определению секвента равна числу изменений знака несинусоидальных функций за единицу времени. Обычно под секвентными сигналами понимается последовательность импульсов одинаковой формы и единичной амплитуды, но различного знака. Структура секвентных сигналов хорошо приспособлена для современных цифровых систем связи, и особенно это касается мобильных систем. Секвентные сигналы, во-первых, позволяют уплотнить перегруженный частотный диапазон, во-вторых, обеспечивают скрытность передачи информации или абонентских переговоров.

Секвентные сигналы можно назвать почти ортогональными. По своим характеристикам и свойствам почти ортогональные сигналы приближаются к белому шуму, поэтому в отечественной литературе их часто называют шумоподобными или широкополосными сигналами – их корреляционные функции и спектры плотности мощности близки к аналогичным характеристикам квазибелого шума. Шумоподобные сигналы относятся к классу сложных сигналов, база которых Вс = 2F_cT_c >> 1.

Наиболее распространенным примером технической реализации шумоподобных сигналов могут служить сформированные определенным образом псевдослучайные последовательности прямоугольных радиоимпульсов, в частности, при манипуляции несущего колебания двоичными кодами. База таких сигналов определяется числом модулирующих импульсов в исходной последовательности. При этом наиболее успешно развиваются цифровые методы передачи и обработки сигналов на основе дискретных ортогональных последовательностей в виде функций Баркера, линейных рекурентных М-последовательностей (последовательности Голда, Лежандра и пр.), Радемахера, Уолша и др.