11.2. Импульсная характеристика оптимального фильтра

Чтобы определить импульсную характеристику оптимального фильтра, вычислим обратное преобчразование Фурье от частотного коэффициента передачи (11.9). Используя формулу для определения импульсной характеристики через коэффициента передачи , получим

= . (11.15)

Поскольку S*(ω) = S(−ω), то, переходя к новой переменной ω₂ = −ω, после несложных преобразований, запишем

. (11.16)

Следовательно, импульсная характеристика оптимального фильтра совпадает с зеркально отраженной относительно оси ординат копией входного сигнала, сдвинутой на интервал t₀ по оси времени. Об этом говорит отрицательный знак при аргументе t в формуле (11.16).

На рис. 11.3 показан принцип построения импульсной характеристики оптимального фильтра применительно к некоторому импульсному сигналу u(t) длительностью τ_И.

Поскольку при t < 0 импульсная характеристика линейной цепи не существует, то временная задержка t₀ между началом действия сигнала на входе фильтра и моментом образования максимального пика сигнала на его выходе должна быть не менее длительности сигнала τ_И. Это одно (но недостаточное) из условий физической реализуемости оптимального фильтра, показывающее, что для создания максимального пика сигнала на выходе необходимо провести обработку фильтром всего входного сигнала u(t).

Фундаментальной особенностью оптимального фильтра является то, что обнаружение сигнала в шумах зависит не от формы, а от его энергии.

В частности путем увеличения длительности входного импульса можно надежно обнаруживать сигналы небольшой амплитуды. Однако при этом приходится проигрывать в скоростях обработки информации.

Как правило, формы полезного сигнала на входе и выходе согласованного фильтра существенно отличаются друг от друга. В частности, задачей согласованного фильтра для двоичной системы является не восстановление формы сигнала, искаженной шумом, а получение одного отсчета, по которому можно судить о присутствии или отсутствии на входе фильтра сигнала известной формы.

Выражения, определяющие частотную и импульсную характеристики согласованного фильтра, дают возможность найти физическую структуру устройства для оптимальной фильтрации сигнала известной формы. Согласованный фильтр для импульсного сигнала произвольного вида u(t) длительностью T_c можно в принципе построить на основе неискажающей длинной линии с бесконечной плотностью отводов, обеспечивающей задержку сигнала на время T_c. Практически можно брать отводы в дискретных точках с разносом Д = 0.5/F_c, где F_c – эффективная ширина спектра сигнала.

11.3. Согласованный фильтр для одиночного видеоимпульса прямоугольной формы

Пусть имеется сигнал u(t), представляющий собой видеоимпульс прямоугольной формы с амплитудой U₀ и длительностью τ_И. Для нахождения структуры фильтра, согласованного с этим сигналом, можно применить спектральный метод. Воспользовавшись прямым преобразование Фурье, вычислим спектральную плотность сигнала:

. (11.17)

По формуле (11.9), в которой для конкретности приравняем t₀ = τ_И, т.е.

отклик фильтра максимален в момент окончания импульса, находим частотный коэффициент передачи согласованного фильтра:

К(ω) = (11.18)

Входящий в эту формулу множитель 1/(jω) реализуется интегрирующим звеном, а второй множитель 1 – е^-jωτИ – вычитающим устройством, на которое после интегрирования подаются прямой и задержанный на время τ_И сигналы. Известно, что коэффициент передачи идеальной (без потерь) линии задержки равен е^-jωτИ.