9.9. Классификация методов анализа линейных цепей

Для анализа прохождения гармонических сигналов через линейные цепи используют: законы Кирхгофа, методы контурных токов, методы узловых потенциалов и метод эквивалентного генератора. Однако в радиотехнике приходится иметь дело чаще всего с импульсными сигналами, которые существенно более разнообразны по форме и спектральному составу и описываются значительным числом параметров. При анализе воздействия сигналов на сложные радиоэлектронные цепи применяют классический, операторный, частотный методы и метод интеграла наложения.

Классический метод основан на составлении и решении дифференциальных уравнений и наиболее удобен для анализа прохождения импульсных сигналов через линейные цепи. Однако он становится очень сложным при анализе процессов и цепей, описываемых дифференциальными уравнениями выше третьего порядка. В этих случаях удобнее применять спектральный и операторный методы и метод интеграла наложения.

Спектральным методом можно достаточно полно определять свойства линейных цепей с помощью частотного коэффициента передачи.

При этом K(ω) = | K(ω)| называют амплитудно-частотной характеристикой, а аргумент φ(ω) – фазочастотной характеристикой

В форме дифференциального уравнения

.

Операторный метод базируется на преобразованиях Лапласа входных и выходных сигналов 4-х полюсников. По существу спектральный метод является разновидностью операторного метода, в котором операторным изображениям сигналов по Фурье служат их спектры. Но в отличие от реальных спектров операторные изображения в общем случае являются абстрактными математическими понятиями, которые только упрощают анализ процессов в цепях. (Термин принадлежит англ. физику О. Хевисайду ,1850-1925 г.г.). Метод основан на замене оператора дифференцирования d/dt

комплексным параметром р. Оператор р переводит рассмотрение сигналов из временн'ой области в область комплексных величин.

, (9.21)

в котором u(t) называют оригиналом, а функцию U(p) его изображением по Лапласу, при этом p = α + jω, α – вещественная составляющая.

В радиотехнике операторный метод базируется на важнейшей характеристике, являющейся отношением изображений выходного и входного сигналов и называемой операторным коэффициентом передачи (передаточной функцией)

,

где Q(p) называют полюсами, R(p) нулями передаточной функции.

9.10. Дискретная свертка сигналов

В теории цифровой обработки сигналов важное значение имеет дискретная свертка. По аналогии со сверткой двух непрерывных сигналов u(t) и x(t)

вводят линейную дискретную свертку, представляющую собой вещественный (действительный) дискретный канал, отсчеты которого связаны с отчетами двух вещественных дискретных сигналов {u_k} и {x_m} соотношением

m =0, 1, 2, ... . (9.22)

Отметим, что суммирование по номерам ведется от k = 0, поскольку исследуются вещественные сигналы. Число выходных отсчетов в свертке

N = k + m – 1.

ПРИМЕР 9.6. Для двух дискретных сигналов, заданных соответственно отсчетами {u_k} = {1, 2, 3, 4, 5} и {h_m} = {10, 7, 5, 3}, вычислить дискретную свертку.

Р е ш е н и е. Воспользовавшись алгоритмом дискретной свертки (9.22), осуществим непосредственное вычисление ее отсчетов. Для наглядности на одной полоске клетчатой бумаги запишем отсчеты сигнала {u_k}, а на другой – отсчеты другого сигнала {h_m}, причем элементы второго сигнала расположены «зеркально», т.е. справа налево (Рис. 9.12).

Для того, чтобы определить нулевой отсчет свертки, совместим первые позиции сигналов (Рис. 9.12, б). и перемножим отсчеты, находящиеся друг под другом. В результате имеем у₀ = 10. Для вычисления следующего отсчета у₁ сдвинем любую полоску на одну позицию (Рис. 9.12, в). В данном случае, после перемножения отсчетов и сложения результатов, получим у₁ = 20 + 7 = 27.

Проделав аналогичные операции до момента, когда отсчеты перестанут накладываться, находим значения свертки:

{y_k} = {10, 27, 49, 74, 99, 64, 37, 15},

9.11. Z-преобразование дискретных сигналов

При математическом описании дискретных и цифровых цепей и устройств широко применяется z-преобразование, играющее по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральные преобразования Фурье и Лапласа для непрерывных сигналов.

По аналогии с преобразованием Лапласа (9.21) для непрерывного сигнала u(t), для дискретного сигнала {u_k} изображение по Лапласу определяется выражением

(9.23)

Обратное дискретное преобразование Лапласа заданной последовательности, аналогично (3.13), имеет вид

, (9.24)

где α₁ – вещественная переменная на комплексной плоскости.

Изображения по Лапласу дискретных сигналов, в которых сомножителем входит экспоненциальный член е^pΔt , являются трансцедентными функциями аргумента p, что существенно усложняет анализ. Его можно упростить, переходя к z-преобразованию, для чего в дискретном преобразовании Лапласа вводят новую переменную z = е^pΔt.