17 И 18 вопросы тут вместе!!! Методика изучения функций и их графиков.
Цели: Систематизировать знания о функции; ее графиках; возрастании, убывании функций и др.
План:
а) Определение функции.
б) Аналитическое задание функции.
в) Табличное задание функции.
г) Числовая плоскость, координатная плоскость, оси координат.
д) График функции, заданной аналитически.
е) Четные и нечетные функции, их графики.
ж) Возрастающие и убывающие функции.
з) Виды функций, изучаемых в 5-9 классах.
и) Преобразование графиков.
Лекция. Понятие функции является одним из основных понятий математики вообще и школьной математики в частности. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Общее определение функции, которое мы называем теперь «классическим», сформировалось в математике не очень давно – лишь в начале прошлого века.
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.
а)
Опр. Зависимость переменной у от
переменной х называется функцией, если
значению х соответствует единственное
значение у.
х – независимая переменная, аргумент
у – зависимая от х переменная, функция
Все значения, которые принимает х, называются областью определения f, значения у – множеством значения.
Например:
у = х2, где 1 ≤ х ≤ 3
у(1) = 12 = 1 у(3) = 32 = 9
1
≤ х ≤ 3 Д(у) =
1
≤ у ≤ 9 Е(у) =
б) Чтобы задать функцию нужно указать способ, с помощью которого для значение аргумента можно найти соответствующее значение функции. Чаще всего используют формулу у = f (х), где f (х) – некоторое выражение с переменной х.
Например:
1) у = х2 + 5х – 1 – аналитическое задание функции
Д(у) = R, т.е. совпадает с областью определения самого выражения.
2)
у =
Найти f
(-х); f
(х + а); f
(х).
3)
Найти Д(f)
у =
;
у =
.
4) f (х) = 2х + 3, -1 ≤ х ≤ 0
х + 2, 0 < х ≤ 1
Д(f)
=
Найти f (-0,5); f (0,5).
в) На практике часто используют табличный метод задания функции.
При этом способе составляется таблица х и вычисляются соответствующие значения у, например, таблицы Брадиса, квадратов, кубов, корней.
д) Если на координатной плоскости отметить все точки, обладающие свойством у = f (х), то их множество составит график функции.
Координатная плоскость это 2 перпендикулярные прямые, на которые нанесено начало, задан масштаб, ось абсцисс х, ось ординат у.
Для построения графика составляют таблицу, строят точки, соединяют их плавной линией.
Построить
график у = -
.
Аналитический, графический, табличный - наиболее простые, а потому наиболее популярные способы задания функции, в основном школьном курсе названных способов вполне достаточно.
Но важно помнить, что о функции можно говорить всегда, когда налицо имеется соответствие значений, независимо от способа задания этого соответствия.
е) Четные и нечетные функции.
Функция вида f (х) = f (-х) – четная
f
(х) = -f (-х)
– нечетная
Исследовать на четность функции:
у
= х2;
у = х3;
у =
Графики симметричны относительно 0у и центра.
Построить у = /х/ (четная), у = х/х/ (нечетная).
ж)
Функция f
(х) называется возрастающей, если для
любых х2 >
х
f
(х2)
> f
(х1)
и убывающей, если для любых х2
> х1
f
(х2)
< f
(х1)
Исследовать на возрастание и убывание функции:
у = 2х + 3
х1 = 5 х2 = 7
у(5) = 13 у(7) = 17
5
< 7 и 13 < 17
возрастающая
В общем виде:
х1 < х2
у1 = 2х1 + 3 у2 = 2х2 + 3
2х1 < 2х2
2х1 + 3 < 2х2 + 3 по свойству числовых неравенств.
з) Виды функций:
1) у = в – постоянная
2) у = kх – пр. пр.
3) у = kх + в – линейная
4)
у =
– обр. пр.
5) у = х3 – кубическая
6) у = х2 – квадратичная
7) степенная с четным показателем у = х2п
8) степенная с нечетным показателем у = х2п + 1
9)
у =
– арифметический корень
10)
у =
-
корень п-й степени
11)
у =
- модуль х
12)
у =
;
дробная часть числа это разность между
числом и его целой частью.
у
=
;
целая часть числа это целое число не
превосходит числа х.
13)
у = ах
– показательная а > 0, а
1
свойства.
14) у = logах – логарифмическая х > 0, а > 0
свойства – обратная показательной, а 1
15) тригонометрические.
и) Преобразование графиков.
Действия |
Аргумент |
Функция |
+ ( – ) а
|
Параллельный перенос влево (вправо) по оси Ох на а единиц |
Параллельный перенос вверх (вниз) по оси Оу на а единиц |
х ( : ) а
|
Сжимается (растягивается) в а раз по оси Ох |
Вытягивается (сжимается) по оси Оу вверх и вниз в а раз |
Прим.
у =
+4