6. Правила и алгоритмы

Несмотря на то что понятие алгоритма является едва ли не самым распространенным в современной математике, природа этого понятия становится более ясной только с появлением математической логики. С исторической точки зрения понятие алгоритма связано скорее с алгеброй, потому что именно там оно появляется впервые. Любопытно то обстоятельство, что слова алгебра и алгоритм обязаны своим возникновением имени одного человека – арабского математика Аль Хорезми (787 – ок. 850), после которого осталось несколько трактатов и среди них один был посвящен арифметике, а другой – алгебре. В обеих книгах широко используются разнообразные алгоритмы, а сам термин алгоритм есть искаженное произнесение имени Аль Хорезми (dixit algorizmi – «так сказал Аль Хорезми»). Название же книги по алгебре – Китат аль-мухтассар ибн хасаб аль-габр в’алуккабала – привело к введению слова алгебра для обозначения соответствующего раздела математики.

Важность понятия алгоритма в настоящее время безусловно осознается в связи с появлением возможности быстрых вычислений, производимых компьютерами. Действие физических машин – компьютеров – основано на исполнении ими программ, которые представляют собой алгоритмы. Простые алгоритмы типа деления столбиком известны каждому школьнику из курса математики, и, казалось бы, нет более знакомой вещи в математике, чем алгоритмы. Математика имеет дело с математическими объектами, среди которых можно назвать числа, функции, множества, фигуры и т.д. Суть математики состоит в доказательстве истинных утверждений об этих объектах, и если есть такое доказательство, объект, фигурирующий в утверждении, считается существующим. Вопрос о том, где он существует: в мире идеальных сущностей, или же в уме у математика, или же во внешнем мире, – занимает в основном философов математики и не интересует нас здесь. Удивительным и весьма важным фактом является то, что алгоритм в обычном его понимании не является традиционным математическим объектом.

Для понимания этого важного факта следует обратиться к тому, что представляют собой математические утверждения. Обычно они являются дескриптивными, т.е. описывающими свойства математических объектов. В более широком смысле можно полагать, что математические утверждения описывают математическую реальность, что бы под этим ни понималось. Важно лишь то, что математические утверждения суть описание чего-то такого, чье существование по некоторым критериям допускается или постулируется.

Что касается алгоритмов, то они носят императивный характер, который виден из того, что они представляют собой предписания: сделай так-то и так-то. В этом смысле они не являются математическими объектами в традиционном их понимании, потому что императивы не есть часть математики. Это представляется странным, но следует учесть, что алгоритмы появляются в доказательствах классической математики в виде текста, который никак не подходит под определение математического объекта как чего-то такого, что описывается математическими утверждениями.

Термин "понятие" обычно применяется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания.

Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций.

Каждое понятие объединяет в себе класс объектов (вещей, отношений) - объем этого понятия - и характеристическое свойство, присущее всем объектам этого класса, и только им, - содержание этого понятия. Например, понятие "треугольник" соединяет в себе класс .всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свойство - наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия); понятие "уравнение" соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство - равенство, содержащее одну или несколько переменных (содержание понятия).

Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий.

Формирование понятий - сложный психологический процесс, начинающийся с образования простейших форм познания - ощущений - и протекающий часто по следующей схеме: ощущения - восприятие - представление - понятие.

Обычно разделяют этот процесс на две ступени: чувственную, состоящую в образовании ощущений, восприятия и представления, и логическую, заключающуюся в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.

Чувственная ступень в процессе формирования понятий соответствует первому этапу пути познания вообще, т. е. "живому созерцанию", и поэтому ее осуществление требует широкого применения наглядности. Если ученику никогда не показывали модель куба или предметы, имеющие форму куба, то у него не может образоваться представления, а следовательно, и понятия куба.

Процесс формирования понятий будет эффективным, если он ориентирует учащихся на обобщение и абстрагирование существенных признаков (характеристического свойства) формируемого понятия.

Обязательные свойства алгоритмов

1. Дискретность алгоритма-поочередное выполнение команд алгоритма за конечное число шагов приводящее к решению задачи.

Запись алгоритма распадается на отдельные указания исполнителю выполнить некоторое законченное действие. Каждое такое указание называется командой. Команды алгоритма выполняются одна за другой. После каждого шага исполнения алгоритма точно известно, какая команда должна выполняться следующей. Алгоритм представляет собой последовательность команд (также инструкций, директив), определяющих действия исполнителя (субъекта или управляемого объекта).

Таким образом, выполняя алгоритм, исполнитель может не вникать в смысл того, что он делает, и вместе с тем получать нужный результат. В этом случае говорят, что исполнитель действует формально, т.е. отвлекается от содержания поставленной задачи и только строго выполняет некоторые правила, инструкции.

Это очень важная особенность алгоритмов. создание алгоритма дает возможность решать задачу формально, механически исполняя команды алгоритма в указанной последовательности.

2. Oпределенность (или точность) алгоритма - каждая команда алгоритма должна однозначно определять действие исполнителя.

3. Понятность алгоритма - алгоритм, составленный для конкретного исполнителя, должен включать только те команды, которые входят в его систему команд.

У каждого исполнителя имеется свой перечень команд, которые он может исполнить. Совокупность команд, которые могут быть выполнены исполнителем, называется системой команд исполнителя.

4. Результативность (конечность) алгоритма - исполнение алгоритма должно закончиться за конечное число шагов.

Не обязательное свойство алгоритмов

5. Массовость алгоритма - обеспечивающие решения всего класса задач данного типа.

Свойство массовости не является необходимым свойством алгоритма. Оно скорее определяет качество алгоритма.