- •2. Анализ установившегося режима в цепях синусоидального тока. Гармонические функции.
- •Изображение синусоидально изменяющихся величин на комплексной плоскости.
- •Мгновенная мощность.
- •Синусоидальный ток в активном сопротивлени (r).
- •Общая схема применения метода комплексных амплитуд.
- •Комплексные частотные характеристики.
- •1 R 2
- •Комплексное действующее значение искомого тока
- •Согласование источника напряжения с нагрузкой.
- •Резонанс в электрических цепях. Последовательный колебательный контур.
1 R 2
C
1’ 2’
Рис.2.11.
Входные выводы фильтра: 1–1’, то есть .
Выходные выводы: 2–2’, то есть .
Передаточная функция:
АЧХ:
ФЧХ:
Ku(w)
1
0.707
1 w RC
(w)
0
wRC
–/2
Рис.2.12
АНАЛИЗ ПРОСТЕЙШИХ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ RL-ЦЕПЬ.
Рассмотрим идеализированную электрическую цепь, состоящую из последовательно включенных сопротивления R и индуктивности L (рис. 2.13 а). Пусть напряжение u, приложенное к внешним зажимам цепи, изменяется по гармоническому закону
, где
U, w, u – заданные величины.
Используя метод комплексных амплитуд, найдем установившееся значение тока i в цепи.
i
R
U
L
=R
=jwL
=R+jwL
а) б) в)
Im
=jwL
=R Re
Im
=jwL
=R
Re
г) д)
Рис. 2.13 Схемы и векторные диаграммы последовательной RL-цепи.
Искомый ток i является гармонической функцией времени той же частоты, что и приложенное напряжение:
, где
I, i – неизвестные действующее значение и начальная фаза тока i.
Представим сопротивление и индуктивность комплексными схемами замещения и перейдем от тока i и напряжения u к их комплексным изображениям.
Получаем комплексную схему замещения цепи (рис. 2.18 б). Далее используя законы Ома в комплексной форме, составим систему уравнений электрического равновесия в цепи.
=R и =jwL – комплексные сопротивления входящих в рассматриваемую цепь идеализированных элементов. Величины R, L и w – заданы.
Соотношения, связывающие комплексное изображение искомого тока и заданного напряжения:
Последнему выражению можно поставить в соответствии комплексную схему замещения цепи (рис. 1 в). Аналогично можно найти комплексное сопротивление любого участка цепи, представляющего собой последовательное соединение произвольного количества идеализированных двухполюсных элементов.
Комплексное сопротивление рассматриваемой цепи может быть изображено на комплексной плоскости в виде вектора , равного геометрической сумме векторовzR и zL. Длина этого вектора равна в выбранном масштабе модулю комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи.
Z=R2+(wL)2 .
А модуль наклона к положительной вещественной оси – его аргументу.
Отметим, что при конечных значениях w, L и R угол лежит в пределах 0<</2.
Комплексное действующее значение искомого тока
Откуда можно определить действующее значение и начальную фазу тока:
I=U/z , i=u – .
Переходя от комплексного изображения тока к оригиналу, окончательно получаем:
Векторные диаграммы для тока и напряжения RL-цепи приведены на рис. 2.13. Так как напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, вектор совпадает по направлению с вектором, векторповернут относительно векторана угол /2 против часовой стрелки (напряжение на индуктивности по фазе опережает ток). Независимо от начальной фазы напряженияu, вектор повернут относительно векторапо часовой стрелки на угол , то есть ток отстает по фазе от напряжения на угол , равный аргументу комплексного входного сопротивления цепи. Также отметим, что так называемый треугольник напряжений, образованный векторами(рис. 1 д) подобен треугольнику сопротивлений (рис.1б), образованному векторами.
Пример 1: Найти комплексное входное сопротивление и ток последовательной RL-цепи, к зажимам которой приложено напряжение U=2*50*cos(6,28*106t+60) и определить напряжения на элементах цепи (R=5 кОм, L=1 мГн).
Решение:
Комплексное входное сопротивление цепи равно сумме комплексных сопротивлений входящих в нее элементов.
=R + jwL=(5+j*6,28)*103 Ом.
Переходя от алгебраической формы к показательной:
=8,03*ej51,5 кОм.
Определяем модуль комплексного входного сопротивления:
z = 8,03 кОм и его аргумент = 51,5.
Находим комплексный ток цепи:
Комплексные напряжения на индуктивности и сопротивлении:
=R = 31,2* ej8,5 В;
=jwL = 39* ej98,5 В.
Мгновенные значения соответствующих величин:
i = 6,23*10-3*cos(6,28*106t+8,5) А ;
uR = 31,2*cos(6,28*106t+8,5) В ;
uL = 39,1*cos(6,28*106t+98,5) В .
Пример 2: Определим АЧХ и ФЧХ для комплексной передаточной функции по току.
Коэффициенты передачи тока:
K1(jw) =иK2(jw) =.
R L
Рис. 2.14 Схема параллельной RL цепи.
По первому закону Кирхгофа:
(см. рис. 2.15 а,б)
Используя ту же начальную систему уравнений:
K(w)
0,7
1 wL/R
k
/2 -
/4 -
0 wL/R
б)
а)
г)
в)
Рис. 2.15 Схема параллельной RL цепи, графики АЧХ и ФЧХ
коэффициентов передачи по току.