1 R 2

C

1’ 2’

Рис.2.11.

Входные выводы фильтра: 1–1’, то есть .

Выходные выводы: 2–2’, то есть .

Передаточная функция:

АЧХ:

ФЧХ:

K_u(w)

1

0.707

1 w RC

(w)

0

wRC

–/2

Рис.2.12

АНАЛИЗ ПРОСТЕЙШИХ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ RL-ЦЕПЬ.

Рассмотрим идеализированную электрическую цепь, состоящую из последовательно включенных сопротивления R и индуктивности L (рис. 2.13 а). Пусть напряжение u, приложенное к внешним зажимам цепи, изменяется по гармоническому закону

, где

U, w, _u – заданные величины.

Используя метод комплексных амплитуд, найдем установившееся значение тока i в цепи.

i

R

U

L

=R

=jwL

=R+jwL

а) б) в)

Im

=jwL

=R Re

Im

=jwL

=R

Re

г) д)

Рис. 2.13 Схемы и векторные диаграммы последовательной RL-цепи.

Искомый ток i является гармонической функцией времени той же частоты, что и приложенное напряжение:

, где

I, _i – неизвестные действующее значение и начальная фаза тока i.

Представим сопротивление и индуктивность комплексными схемами замещения и перейдем от тока i и напряжения u к их комплексным изображениям.

Получаем комплексную схему замещения цепи (рис. 2.18 б). Далее используя законы Ома в комплексной форме, составим систему уравнений электрического равновесия в цепи.

=R и =jwL – комплексные сопротивления входящих в рассматриваемую цепь идеализированных элементов. Величины R, L и w – заданы.

Соотношения, связывающие комплексное изображение искомого тока и заданного напряжения:

Последнему выражению можно поставить в соответствии комплексную схему замещения цепи (рис. 1 в). Аналогично можно найти комплексное сопротивление любого участка цепи, представляющего собой последовательное соединение произвольного количества идеализированных двухполюсных элементов.

Комплексное сопротивление рассматриваемой цепи может быть изображено на комплексной плоскости в виде вектора , равного геометрической сумме векторовz_R и z_L. Длина этого вектора равна в выбранном масштабе модулю комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи.

Z=R²+(wL)² .

А модуль наклона к положительной вещественной оси – его аргументу.

Отметим, что при конечных значениях w, L и R угол лежит в пределах 0<</2.

Комплексное действующее значение искомого тока

Откуда можно определить действующее значение и начальную фазу тока:

I=U/z , _i=_u – .

Переходя от комплексного изображения тока к оригиналу, окончательно получаем:

Векторные диаграммы для тока и напряжения RL-цепи приведены на рис. 2.13. Так как напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, вектор совпадает по направлению с вектором, векторповернут относительно векторана угол /2 против часовой стрелки (напряжение на индуктивности по фазе опережает ток). Независимо от начальной фазы напряжения_u, вектор повернут относительно векторапо часовой стрелки на угол , то есть ток отстает по фазе от напряжения на угол , равный аргументу комплексного входного сопротивления цепи. Также отметим, что так называемый треугольник напряжений, образованный векторами(рис. 1 д) подобен треугольнику сопротивлений (рис.1б), образованному векторами.

Пример 1: Найти комплексное входное сопротивление и ток последовательной RL-цепи, к зажимам которой приложено напряжение U=2_*50_*cos(6,28_*10⁶t+60) и определить напряжения на элементах цепи (R=5 кОм, L=1 мГн).

Решение:

Комплексное входное сопротивление цепи равно сумме комплексных сопротивлений входящих в нее элементов.

=R + jwL=(5+j_*6,28)_*10³ Ом.

Переходя от алгебраической формы к показательной:

=8,03_*e^j51,5 кОм.

Определяем модуль комплексного входного сопротивления:

z = 8,03 кОм и его аргумент = 51,5.

Находим комплексный ток цепи:

Комплексные напряжения на индуктивности и сопротивлении:

=R = 31,2_* e^j8,5 В;

=jwL = 39_* e^j98,5 В.

Мгновенные значения соответствующих величин:

i = 6,23_*10^-3_*cos(6,28_*10⁶t+8,5) А ;

u_R = 31,2_*cos(6,28_*10⁶t+8,5) В ;

u_L = 39,1_*cos(6,28_*10⁶t+98,5) В .

Пример 2: Определим АЧХ и ФЧХ для комплексной передаточной функции по току.

Коэффициенты передачи тока:

K₁(jw) =иK₂(jw) =.

R L

Рис. 2.14 Схема параллельной RL цепи.

1. По первому закону Кирхгофа:

(см. рис. 2.15 а,б)

2. Используя ту же начальную систему уравнений:

K(w)

0,7

1 wL/R

_k

/2 -

/4 -

0 wL/R

б)

а)

г)

в)

Рис. 2.15 Схема параллельной RL цепи, графики АЧХ и ФЧХ

коэффициентов передачи по току.