ТЕМА 9
ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В КАНАЛАХ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
Вопрос 1. Термодинамическая модель процесса
Под каналами переменного сечения понимаются конфузоры (сопла) и диффузоры.
Конфузор (сопло) – это канал переменного сечения с уменьшающейся по ходу потока площадью поперечного сечения, в котором происходит разгон потока.
Диффузор - это канал переменного сечения с увеличивающейся по ходу потока площадью поперечного сечения, в котором происходит торможение потока.
Применим систему уравнений стационарного поточного процесса к неподвижному соплу или диффузору.
Примем следующие допущения:
1) Так как канал неподвижный, то δlтех=0 и lтех=0.
2) Обычно длина сопл и диффузоров невелика, а скорости течения высокие, поэтому теплообменом между стенками канала и окружающей средой можно пренебречь и считать процессы течения в таких каналах адиабатными, то есть δqвнеш=0 и qвнеш=0.
3) Рассмотрим сначала течение без потерь на трение, то есть δqтр = δlтр =0 и qтр = lтр =0.
4) Так как сопла и диффузоры обычно имеют небольшие длины, то можно пренебречь разностью потенциальной энергии положения потока во входном и выходном патрубках по сравнению с разностью кинетической энергии и энтальпии, то есть gdН≈0 и g(Н2 - Н1)≈0.
5) Будем считать газ идеальным, то есть z=1.
С учетом принятых допущений система уравнений примет следующий вид
В интегральном виде:
Из уравнений (2) и (3) видно, что видно, что ускорение адиабатного потока (с2с1) происходит за счет уменьшения энтальпии и давления, а торможение потока (с2<с1) вызывает увеличение энтальпии и давления. Уравнение (2) называют также уравнением движения, уравнение сохранения энергии или уравнением Бернулли для неподвижного канала.
Вопрос 2. Изоэнтропное истечение газа из резервуара через конфузор (сопло).
Рассмотрим процесс изоэнтропного истечения газа из резервуара, в котором поддерживаются постоянными параметры газа р1, υ1, Т1, через сопло в среду с давлением ро.с.
Из уравнения движения
=
получаем
.
Выберем большую площадь входного сечения сопла, тогда с1 0 и
.
Массовый расход газа через сопло
учитывая, что
,
т.е.
получим формулу Сен-Венана и Ванцеля
т.к.
.
Массовый расход газа через сопло зависит от площади выходного сечения сопла, свойств газа, начальных параметров газа и от давления р2 .
Если по формуле Сен-Венана и Ванцеля построить зависимость m=f(р2/р1)=f(), то это будет парабола, для которой при =0 и =р2/р1=1 m=0, а при =βкр m=mmax.
βкр = р2кр / р1 – это критическое отношение давлений.
Но сравнение этой зависимости с экспериментальной зависимостью показало, что они совпадают только на участке кр р2/р1 1, а на участке 0 р2/р1 кр m=mmax=const.
Чтобы найти кр, нужно исследовать на максимум формулу Сен-Венана и Ванцеля, т.е. взять производную от выражения в квадратных скобках и приравнять ее к нулю
или
,
тогда
Для воздуха при k=1,4 βкр = 0,528.
При =кр происходит так называемое запирание выходного сечения сопла. Это связано с тем, что в выходном сечении сопла скорость потока достигает скорости звука.
Для воздуха при k=1,4 βкр = 0,528.
При =кр происходит так называемое запирание выходного сечения сопла. Это связано с тем, что в выходном сечении сопла поток достигает скорости звука.
Критическому отношению давлений соответствует критическое отношение температур и плотностей:
;
Для воздуха при k=1,4 τкр = 0,833, εкр = 0,546.
Скорость звука, а – это скорость распространения малых возмещений (или слабых волн давления) в упругой среде
,
м/с.
Процесс передачи малых возмущений (или слабых волн давления) в упругой среде происходит быстро, практически без теплообмена между частицами и окружающей средой и можно пренебречь также потерями энергии на трение, т.е. этот процесс можно принять изоэнтропным. Подставив в формулу для скорости звука уравнение изоэнтропного процесса в виде р=kconst получим
.
Тогда
.
Скорость звука зависит от свойств газа и его термодинамических параметров. Например, для воздуха
-
t, oC
0
100
-100
а, м/с
331
387
264
Скорость потока, равная скорости звука в данном сечении канала, называется критической скоростью акр.
Если в выражение для скорости звука
подставить выражение для критической
темпрературы
,
то получим
.
Видно, что критическая скорость зависит от свойств газа и параметров газа в резервуаре, которые постоянны.
В газодинамике и термодинамике очень широко используют такие понятия как число Маха и безразмерная или приведенная скорость потока:
- число Маха – это отношение скорости потока к скорости звука
-
;
- безразмерная (приведенная) скорость – это отношение скорости потока к критической скорости
.
При с=а=акр, М==1.
При М 1 – течение дозвуковое;
при М = 1 – течение звуковое;
при 1 М 4 5 - течение сверхзвуковое;
при М45 - течение гиперзвуковое.
Именно из-за достижения в выходном сечении сопла критической скорости газ не может расшириться до давления меньше критического, а массовый расход остается постоянным. Объясняется это следующим образом:
- если скорость истечения меньше скорости звука (с2<a2), то падение давления за соплом в виде слабых волн давления передается по потоку внутрь канала с относительной скоростью (а–с)>0, что приводит к перераспределению давления, и в выходном сечении сопла устанавливается давление, равное давлению окружающей среды (р2=ро.с);
- если с2=акр, то скорость движения газа и скорость распространения слабых волн давления одинаковы, и эти волны не могут проникнуть к выходному сечению и внутрь сопла против потока, т.к. их относительная скорость (а2–скр)=0. Поэтому, в выходном сечении сопла устанавливается давление, большее давления окружающей среды (р2>ро.с), и, несмотря на дальнейшее снижения давления за соплом, скорость истечения остается равной критической скорости (с2=aкр=a2), а массовый расход остается равным максимальному значению mmax. Образуется так называемый звуковой барьер, через который не могут проникнуть к выходному сечению и внутрь сопла изменения внешнего давления.
Таким образом,
- при кр<<1 р2=ро.с, с2<a2, m<mmax;
- при 0<≤кр р2= р2кр =кр р1>ро.с, с2=aкр=a2, m=mmax= mкр;
Определим расход газа при критическом отношении давлений
mкр
Учитывая, что
и
получаем
где
- постоянная, зависящая от рода газа;
для воздуха при k=1,4
B=0,685.