1.5 Визначення прискорення вантажу по теоремі про зміну кінетичної енергії системи
Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної системи в диференціальній формі має вигляд
,
(1.47)
де – кінетична енергія системи;
– сума потужностей
всіх зовнішніх сил, які прикладені до
системи.
Система складається з п’яти тіл, із яких 3 і 4 здійснюють поступальні рухи, шківи 2 і 5 обертальні рухи навколо нерухомих осей, а каток 1 рухається плоскопаралельно.
1. Кінетична енергія тіла, яка рухається поступально рівна
,
(1.48)
де – маса тіла; – його швидкість.
Для тіла 3 і 4 відповідно маємо
;
(1.49)
.
(1.50)
Рисунок 1.8
2. Для тіла, яке знаходиться в обертальному русі
,
(1.51)
де – момент інерції тіла відносно осі обертання; – кутова швидкість тіла.
На основі (1.51) для ступінчатих шківів 2 і 5 відповідно маємо
;
(1.52)
.
(1.53)
3. При плоскопаралельному русі твердого тіла його кінетична енергія визначається формулою
(1.54)
Каток 1 здійснює плоский рух, отже
.
(1.55)
4. Визначаємо кінетичну енергію системи, як суму кінетичних енергій ланок, які входять в систему
.
(1.56)
В (1.56) підставимо (1.55), (1.52), (1.49), (1.50) і (1.53)
(1.57)
Враховуючи співвідношення (1.6)
(1.58)
і підставляючи їх в (1.57), одержимо кінетичну енергію системи
.
(1.59)
5. Знайдемо потужність всіх зовнішніх сил і моментів, які діють на систему.
На систему діють
зовнішні сили
,
моменти
та
,
і опорні реакції
,
.
Потужність сили рівна
,
(1.60)
де
– швидкість точки прикладання сили;
– кут між напрямом вектора сили
– і вектора швидкості
.
Потужність моменту рівна
,
(1.61)
де – кутова швидкість.
Так як осі обертання
шківів 2 і 5 нерухомі і кут між
рівний 90,
то потужності сил
рівні нулю
.
(1.62)
Для системи сил, які діють на систему, згідно (1.47), (1.50) і (1.61), а також, враховуючи (1.62), отримаємо:
.
(1.63)
Враховуючи співвідношення (1.58) одержимо потужність системи (1.63) у вигляді
.
(1.63)
6. Підставляючи
значення Т
(формула 1.59) і
в рівняння (1.47) отримаємо
(1.65)
Диференціючи ліву частину (1.65) по часу, враховуючи, що і виконавши відповідні перетворення, отримаємо
, (1.66)
що співпадає з попереднім виразом.
1.6 Визначення прискорення вантажу за загальним рівнянням динаміки
Загальне рівняння динаміки для механічної системи з двосторонніми ідеальними в’язями має вигляд
,
(1.67)
де
– задані сили, які діють на систему;
– сили інерції, умовно прикладені до
точок системи;
– можливі переміщення точок системи.
Сили тертя віднесемо до числа активних сил.
Для розв’язання задачі даним методом необхідно знайти суму робіт всіх заданих сил і сил інерції точок системи на її можливому переміщенні. В’язі, накладені на систему є ідеальним нитки рахуються натягнутими при роботі механізму.
1. Розглянемо систему в цілому (рис. 1.9).
Прикладемо до системи всі активні сили
і моменти
та
.
Рисунок 1.9
1.1. Сили інерції, які зумовлені прискореним поступальним рухом тіл 3 і 4 визначається формулами:
;
(1.68)
.
(1.69)
1.2. Сили інерції
шківів 2 і 5, які обертаються навколо
нерухомих осей з прискореннями
і
приводяться до інерційних пар, моменти
яких відповідно рівні
;
(1.70)
.
(1.71)
Інерційні момент
і
напрямлені в сторону протилежну напряму
кутових прискорень
і
.
1.3. Сили інерції
катка 1, який здійснює плоскопара-лельний
рух, приводиться до сили інерції, яка
напрямлена в сторону протилежну
і рівна
,
(1.72)
а також до інерційної пари, момент якої рівний
(1.73)
і напрямлений в сторону протилежну напряму кутового прискорення.
2. Надамо системі
можливе переміщення. При цьому вантаж
3 переміститься по похилій площині на
віддаль
,
ланки 5 і 2 повернуться відповідно на
кути
вантаж 4 підніметься на віддаль
.
Каток 1, здійснюючи плоский рух,
переміститься на віддаль
і повернеться на кут
.
Ці переміщення показані на рис. 1.9.
Знайдемо тепер суму робіт всіх заданих сил і сил інерції на даному переміщенні системи і прирівняємо її до нуля, тобто складемо загальне рівняння динаміки
(1.74)
де згідно з співвідношень (1.7) і (1.8)
(1.75)
3. Підставимо (1.75)
в (1.74) і визначимо
.
(1.76)
що співпадає з попереднім виразом.