Взірець виконання розрахункової роботи

Приклад. Механічна система (рис. 1) складається з вантажів 3 і 4 (коефіцієнт тертя їх об поверхні = 0,1), циліндричного суцільного однорідного катка 1 і радіусом 0,1 м (коефіцієнт тертя кочення якого К = 0,02 м), та ступінчатих шківів 2 і 5, радіуси ступеней яких 0,8 м; 0,6 м; 0,4 м; 0,3 м. Масу шківа 2 вважати рівномірно розподіленою уздовж зовнішнього ободу, радіус інерції шківа 5 0,2 м. До системи прикладена сила = 50(10+ )Н, котра залежить від переміщення точки її прикладання. При русі на шківи 2 і 5 діють моменти опору та . Визначити прискорення вантажу 3 п’ятьма методами в той момент часу, коли каток 1 переміститься на віддаль = 0,6 м, якщо 10 кГ, 12 кГ, 4 кГ, 8 кГ, 5 кГ, = 0,4 Нм, = 0 Нм. В початковий момент часу система знаходилась у стані спокою. В розрахунках прийнятих: .

Рисунок 1.1

1.1 Визначення напряму руху механізму

Для визначення напряму руху механізму визначимо натяг нитки АВ, яка з’єднує шків 5 з ниткою 1, створений силами ваги вантажів 3 і 4 , моментом і змінною заданою силою в момент часу коли каток пройде віддаль =0,6 м (рис. 2, а) і (рис. 2, б).

а б

Рисунок 2

(м)

.

Визначимо значення змінної сили в момент часу, коли каток 1 пройде шлях =0,6 м.

Згідно рис. 2, а і рис. 2, б.

, (1.1)

. (1.2)

Із (1.1) і (1.2)

. (1.3)

Інтегруючи по часу (1.3) ( ) отримаємо

. (1.4)

Тоді

(м). (1.5)

Отже

(м).

Так як , то рух здійснюється в напрямку, як показано на рис. 1.3.

Рисунок 1.3

1.2 Кінематичний розрахунок

Виразимо швидкості всіх ланок механізму через швидкість ланки, прискорення якої визначається. В прикладі, який розглядається, визначається прискорення вантажу 3, то виразимо швидкості всіх ланок механізму через його лінійну швидкість – .

Згідно рис. 1.3.

;

; (1.6)

;

.

Диференціюючи рівняння (1.6) по часу, знайдемо залежності між відповідними прискореннями

(1.7)

.

Інтегруючи рівняння (1.6) по часу, знайдемо залежності між відповідними переміщеннями

(1.8)

.

1.3 Визначення прискорення вантажу методом складання диференціальних рівнянь руху кожної ланки механізму

Система (рис. 1.4) складається з п’яти тіл: двох вантажів 3 і 4, двох шківі 2 і 5 і циліндричного катка 1. Вантажі здійснюють поступальні рухи, здійснюють обертальні рухи, а каток здійснює плоскопаралельний рух.

Рисунок 1.4

Складаємо диференціальні рівняння руху цих тіл.

1. Диференціальне рівняння поступального руху твердого тіла по осі абсцис має вигляд

, (1.9)

де – маса тіла; – проекція вектора прискорення тіла на вісь абсцис; – сума проекцій сил, діючих на тіло; на вісь . На тіло 3 діють сили і .

Рівняння (1.9) для рухомого тіла 3 прийме вигляд

. (1.10)

До тіла 4 прикладені сили і .

На основі (1.9) отримаємо

. (1.11)

2. Диференційне рівняння для обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі має вигляд

, (1.12)

де – момент інерції тіла відносно осі обертання; – кутове прискорення тіла; – сума моментів всіх сил відносно осі обертання.

Розглянемо шків 2.

На нього діють сили і момент сил опору .

Згідно (1.12)

. (1.13)

До шківа 5 прикладені сили .

На основі (1.12) отримаємо

. (1.14)

3. Розглянемо каток 1, котрий здійснює плоский рух, диференційні рівняння для плоскопаралельного руху твердого тіла записуються так:

(1.15)

де – маса тіла;

– проекції вектора прискорення центра мас тіла на осі абсцис і ординат;

– сума проекцій сил, які діють на тіло, на ці осі;

– момент інерції тіла відносно осі, яка проходить через центр мас тіла;

– кутове прискорення тіла;

– сума моментів всіх сил відносно осі, яка проходить через центр мас тіла.

На каток 1 діють сили сила щеплення і момент тертя кочення .

Рівняння руху згідно (1.15) мають вигляд

; (1.16)

(1.17)

4. Таким чином, система диференціальних рівнянь руху ланок механізму така

(1.18)

де згідно з співвідношення (1.17)

(1.19)

Замітимо, що

.

Розв’язуючи систему рівнянь (1.18) і враховуючи (1.19) отримаємо

. (1.20)