5.31. Задача д16

Необхідно знати:

5.31.1. Формули, що визначають потенціальну енергію:

сили ваги

(5.120)

сили пружності

(5.121)

де: — коефіцієнт жорсткості (пружності);

— деформація.

Необхідно вміти: — див. п. 5.30.7, 5.30.8.

Приклад 31. Для системи, що зображена на рис. 5.81, скласти рівняння Лагранжа другого роду, якщо

При обчисленні моментів інерції тіло 1 та блок 2 вказати суцільними циліндрами радіусу . Тертям та іншими опорами знехтувати.

Рисунок 5.81

Розв’язання.

1. Розглянемо рух заданої механічної системи, що має дві степені кількості. Отже, її положення можна визначити двома узагальненими координатами та . За узагальнені координати виберемо кут повороту тіла 1 та видовження пружин (рис. 5.82).

Рисунок 5.82

2. Зобразимо сили, що діють на систему:

— сили ваги;

— обертальний момент;

— реакції підшипників;

— нормальна реакція поверхні.

3. Рівняння Лагранжа другого роду для даної системи при вибраній системі узагальнених координат будуть мати вигляд:

(а)

4. Перш, ніж визначити кінетичну енергію системи, проведемо кінематичний розрахунок — виразимо швидкості всіх ланок механізму через узагальнені швидкості ( ).

Оскільки блок 2 та диск 1 з’єднані ниткою, що не розтягується, й обертаються навколо нерухомих осей, то

(б)

Поступальний рух тіла 3 можна розглядати як складний, що складається з переміщень, обумовлених обертанням блоку 2 та деформацією пружини . Тоді

(в)

За переносний рух вантажу 3 приймемо його переміщення, обумовлене обертанням блоку 2, значить

Відносний рух вантажу 3 — це є його переміщення, що обумовлене деформацією пружини, .

Враховуючи напрямок та (див. рис. 5.82), з формули (в) отримуємо

(г)

5. Визначимо кінетичну енергію системи Т як суму кінетичних енергій усіх ланок, що утворюють систему

(д)

Тіла 1 та 2 здійснюють обертальні рухи, то

Моменти інерції тіл 1 та 2 обчислювались за формулою оскільки за умовою задачі ці тіла є суцільними однорідними циліндрами радіуса .

Тіло 3 здійснює поступальний рух, значить,

Підставивши всі знайдені значення в (д), отримаємо

(е)

6. За формулою визначимо узагальнені сили. Потенціальна енергія системи, що розглядається, визначається виразом

(ж)

де:	—	потенціальна енергія обертового моменту, яка визначена на основі положення, що “потенціальна енергія чисельно дорівнює роботі з протилежним знаком”, а робота моменту, як відомо, визначається за формулою
	—	потенціальна енергія сили ваги, визначена на основі формули бо . Переміщення знаходимо інтегруванням за часом при нульових початкових умовах виразу (г) (з)
	—	потенціальна енергія деформованої пружини, де — деформація пружини.

У відповідності з вибором узагальнених координат значить

(ж)

З врахуванням (з) та (ж) вираз для потенціальної енергії системи набуває вигляду

Тоді

Замінюючи тут усі величини їхніми значеннями, отримаємо

Підставляючи значення та в рівняння (а), отримаємо

або

Отримані рівняння є диференційними рівняннями руху заданої механічної системи. Проінтегрувавши ці рівняння, знайдемо закон зміни вибраних узагальнених координат, тобто рівняння руху механічної системи.