5.20. Задача д5

Необхідно знати:

5.20.1. Основні визначення і положення динаміки відносного руху матеріальної точки.

5.20.2. Основне рівняння динаміки відносного руху матеріальної точки

(5.68)

у якому:

— маса точки;

— її відносне прискорення;

— геометрична сума всіх сил, що діють на точку;

— переносна сила інерції;

— коріолісова сила інерції.

5.20.3. Формули, за якими визначаються:

— переносна сила інерції

(5.69)

де: — вектор переносного прискорення точки;

— коріолісова сила інерції.

(5.70)

де: — вектор прискорення Коріоліса.

Необхідно вміти:

5.20.4. Визначити переносне та коріолісове прискорення точки (див. § 5.13.4-5.12.7).

5.20.5. Проектувати векторну рівність на вісь (див. параграф 5.13.9).

Приклад 20. Розв’язати задачу Д% контрольної роботи за варіантом 555.

Розв’язання.

У відповідності з даними до задачі Д5 (див. табл. Д5 а і Д5 б) маємо кг; с^-1; см; см;

0,1.

1. Розглядаємо рух точки М відносно порожнинного кільця В й зображаємо її в поточний момент часу координатою (рис. 5.52)

або центральним кутом

Рисунок 5.52

2. Зображуємо всі сили, що діють на точку (рис. 5.53):

— її вага; — реакція гладкого кільця.

Рисунок 5.53

3. Прикладаємо до точки сили інерції (рис. 5.53).

3.1. Переносну силу інерції ( ).

Так як переносний рух — це рух кільця, що рівномірно обертається навколо осі, яка проходить через точку перпендикулярно рис. 5.53, то переносною силою інерції буде відцентрова сила інерції, модуль якої визначається за формулою

В даному випадку

отже

Н.

Сила — спрямована у бік, протилежний вектору доцентрового прискорення.

3.2. Коріолісову силу інерції ( ), модуль якої обчислюється за формулою

В нашому прикладі

Н.

4. Складаємо основне рівняння динаміки відносного руху точки М відносно кільця В

і проектуємо його на натуральні осі координат, що вказані на рис. 5.53:

Отримані рівняння є диференційними рівняннями руху точки М по кільцю. Інтегруючи перше рівняння, можна знайти закон руху точки М по кільцю. З другого рівняння можна визначити реакцію кільця — .

5. Проаналізуємо можливість інтегрування першого рівняння системи (а). Для цього в нього підставимо значення відповідних величин

й виконаємо деякі перетворення

В результаті цього отримуємо:

або

(б)

Отримане диференційне рівняння є нелінійним і в елементарних функціях не інтегрується.

6. Для визначення кутової швидкості, з якою повинно обертатися тіло В, щоб кулька перебувала у спокої відносно канавки в положенні, що визначаються дуговою координатою см, зображуємо кульку у вказаному положенні (рис. 5.54), для якого:

Рисунок 5.54

6.1. Прикладаємо до точки М діючі на неї сили (рис. 5.54):

— сила ваги;

— нормальна реакція кільця;

— сила тертя, величина якої визначається за формулою:

де: — коефіцієнт тертя.

6.2. До даної точки умовно прикладаємо сили інерції:

— переносна сила інерції;

— коріолісова сила інерції.

6.3. Складаємо основне рівняння динаміки відносного руху точки М відносно кільця В

(в)

Для відносного спокою ( а значить, ) рівняння (в) набуває вигляду

(г)

Проектуючи рівняння (г) на натуральні осі координат, що вказані на рис. 5.54, отримуємо:

(д)

де:

Підставляючи в рівняння (д) числові значення

й виконавши перетворення, отримуємо систему рівнянь:

з якої знаходимо с^-1; Н.

Відповідь:

1. Диференційне рівняння руху кульки відносно канавки

2. Диференційне рівняння в елементарних функціях не інтегрується.

3. При с-¹ кулька перебуває в рівновазі, що визначається дуговою координатою см.

4. У вказаному положенні тиск кульки на стінку = 79,5 Н.