5.18. Задача д3

Необхідно знати:

5.18.1. Диференційні рівняння руху матеріальної точки в проекціях на декартові осі координат (рівн. 5.65)

Необхідно вміти:

5.18.2. Проектувати сили на декартові осі координат (див. § 3.2).

5.18.3. Розв’язувати другу основну задачу динаміки. Для цього необхідно вміти:

а) інтегрувати диференційні рівняння ( курс вищої математики);

б) визначати константи інтегрування.

Приклад 18. Тіло масою кг, отримавши в точці початкову швидкість м/с, рухається в зігнутій трубці , що розташована у вертикальній площині. На ділянці на тіло крім сили ваги діє, як вказано на рис. 5.46, постійна сила Н і сила опору середовища Н.

Рисунок 5.46

Пройшовши відстань м, тіло у точці , не змінюючи значення своєї швидкості. переходить на ділянку труби, де на нього крім сили ваги діє змінна сила м/с², що спрямована уздовж цієї ділянки. Нехтуючи тертям, знайти закон руху тіла на ділянці . Прийняти м/с².

Розв’язання:

1. Вважаючи тіло матеріальною точкою, розглянемо його рух на ділянці .

2. На тіло діють (рис. 5.47): — сила ваги; — задана постійна сила; — сила опору; — нормальна реакція поверхні.

Рисунок 5.47

3. Вибрана система координат вказана на рис. 5.47.

4. Складемо диференційне рівняння руху точки вздовж осі :

.

У відповідності з рис. 5.47 маємо

Підставляючи чисельні значення

отримуємо диференційне рівняння руху тіла на ділянці

. (а)

Оскільки ,

то отримане рівняння (а) приймає вигляд

або

. (б)

Отримане диференційне рівняння є рівнянням першого порядку з відокремленими змінними. Відокремлюючи змінні, маємо

,

звідки

. (в)

Константу інтегрування знаходимо з початкових умов ( , , м/с),

Підставивши в рівняння (в), отримаємо

;

;

звідки,

. (г)

Формула (г) — це закон зміни швидкості тіла на ділянці .

Підставивши м. знайдемо швидкість тіла в положенні

м/с.

5. Тепер розглянемо рух вантажу на ділянці . Знайдена швидкість для руху на ділянці буде початковою.

6. Зображуємо тіло в довільному положенні цієї ділянки й прикладаємо діючі на нього сили (рис. 5.48). Тут же вказана вибрана система координат.

7. Складаємо диференційне рівняння руху на ділянці:

.

Рисунок 5.48

У відповідності з рис. 5.48, маємо

Підставивши відомі значення і представивши отримаємо

або

(д)

Перемноживши обидві частини (д) на й інтегруючи, знайдемо

(е)

Константу інтегрування знаходимо з початкових умов. При значить

звідки

При знайденому значенні рівняння (е) приймає вигляд

Множачи обидві частини на і знову інтегруючи, знайдемо

Оскільки при то і остаточно отримаємо

Отримане рівняння є шуканим законом руху тіла на ділянці ВС. У цьому рівнянні — в метрах, — в секундах.

5.19 Задача д4

Необхідно знати:

5.19.1. Основні положення теорії “Прямолінійні коливання матеріальної точки”.

5.19.2. Формулу, за якою обчислюється статичне видовження пружини:

(5.67)

де: — постійна сила, що діє на пружину; — коефіцієнт жорсткості пружини.

Необхідно вміти:

5.19.3. Складати диференційні рівняння руху матеріальної точки (рівн.5.67).

5.19.4. Інтегрувати диференційні рівняння, особливо — рівняння другого порядку.

5.19.5. Раціонально вибирати систему координат.

Для спрощення розв’язання задач рекомендується початок координат розміщувати в положенні статичної рівноваги вантажу, тобто в положенні, де постійні сили, що діють на пружину, зрівноважуються силою пружності.

5.19.6. Розрахувати коефіцієнт жорсткості (С) пружини, котра є еквівалентною двом пружинам, жорсткості яких та (рис. 5.49).

Рисунок 5.49

Приклад 19. Розв’язати задачу Д4 контрольної роботи за варіантом 444.

Розв’язання.

У відповідності з даними до задачі Д; (див. табл. Д4 а, Д4 б, маємо):

кг;	Н/м;
Н/м;	с-1;
м;	;
	Н;
Н;	м/с.

Рисунок 5.50

1. Зображуємо вантаж Д, на закріплений до пружини, що еквівалентна заданим пружинам, у поточний момент часу — рис. 5.51, на якому:

— довжина пружини в не деформованому стані;

— її статичне видовження;

— початок осі ;

— поточна координата вантажу.

Рисунок 5.51

Жорсткість еквівалентної пружини

Н/м

Статичне видовження пружини

м.

2. Зображуємо сили, що діють на вантаж Д (рис. 5.51):

вага вантажу;

— нормальна реакція направляючих АВ;

— сила опору, величина якої визначаються за формулою:

— вага пружності пружини. Величина її визначається за формулою:

— збурююча сила:

3. Вибираємо систему координат. Початок осі вміщено у положення статичної рівноваги. Сама вісь проведена уздовж направляючої АВ (рис. 5.52).

4. Складаємо диференційне рівняння руху вантажу:

Підставляючи значення сили пружності і розкриваючи дужки, отримуємо

(а)

Отримане рівняння (а) є диференційним рівнянням руху вантажу Д. З математичної точки зору це є неоднорідне лінійне диференційне рівняння другого порядку. Розв’язання його складається з двох частин

(б)

де: — загальне рівняння відповідного однорідного рівняння.

(в)

— часткове рівняння неоднорідного рівняння.

Для знаходження складаємо характеристичне рівняння

Так як корені характеристичного рівняння є комплексними, то розв’язання рівняння (в) має вигляд

(г)

де: — константи інтегрування, які визначаються з початкових умов.

Часткове рішення неоднорідного рівняння ( ), виходячи з вигляду правої частини рівняння (а), будемо шукати в формі

(д)

Підставляючи (д) в (а):

і прирівнюючи коефіцієнти при однойменних функціях в обох частинах рівняння:

отримуємо систему двох рівнянь

з якої знаходимо

Підставивши рівняння (д) і (г) в рівняння (б), отримаємо загальне рішення диференційного рівняння (а)

(е)

Для знаходження констант інтегрування з початкових умов (при )

) рівняння (а) диференціюємо за часом

і підставляючи початкові умови в рівняння (е) та (ж), отримуємо:

Підставляючи знайдені величини в рівняння (е), отримаємо закон руху вантажу Д.

Відповідь: