5.16. Задача д1

Необхідно знати:

5.16.1. Диференційні рівняння руху матеріальної точки з проекцією на натуральній осі координат

(5.65)

де: — маса точки; — її швидкість; — проекції вектора сили , що діє на точку, на натуральні осі координат; — проекції рівнодійної системи сил, що діють на точку, на натуральні осі координат.

Необхідно вміти:

5.16.2. На траєкторії руху зобразити осі натуральної системи координат.

5.16.3. Проектувати вектор сили на вісь (див. § 3.2).

5.16.4. Визначити швидкість та прискорення точки при натуральному способі задання її руху.

Приклад 16. Кільце масою кг ковзає по гладкому дроті, що розташований у вертикальній площині й зігнутий, як вказано на рис. 5.44. Рівняння його руху

Рисунок 5.44

м.

Знайти величину і напрямок рівнодійної сили, що діє на кільце, а також реакцію гладкого дроту у моменти часу = 1 с, 2 с, якщо у вказані моменти часу кільце займає відповідно положення 1 і 2, а радіус дуги м.

Розв’язання (див. алгоритм 4.3).

1. Розглядаємо рух кільця М в положеннях 1 і 2.

2. Зображуємо сили, що діють на кільце (рис. 5.44) в будь-якому положенні на траєкторії на кільце діють:

— сила тяжіння;

— нормальна реакція дроту;

— сила, котра спрямована вздовж дотичної до траєкторії.

Позначимо рівнодійну сил, що діють на кільце (рис. 5.45):

— в положенні 1; — в положенні 2.

Рисунок 5.45

В положенні 1 кільце рухається прямолінійно, значить рівнодійна спрямована вздовж траєкторії. В положенні 2 рівнодійна утворює кут з дотичною до траєкторії.

3. Вибираємо натуральні системи координат (рис. 5.45):

— в положенні 1;

— в положенні 2.

4. Для розв’язання задачі складемо диференційні рівняння руху точки в проекціях на натуральні осі координат:

(а)

де: — швидкість кільця:

м/с. (б)

Підставивши (б)в (а), отримуємо

У положенні 1 ( с, кг)

Н;

Н.

У положенні 2 ( с, кг)

Н;

Н;

5. В будь-якому положенні на траєкторії рівнодійна сил, що діють на кільце, дорівнює геометричній сумі трьох сил (див. рис. 5.44 та п. 2):

Спроектувавши рівняння (в) на головну нормаль, отримуємо:

у положенні 1

Н.

у положенні 2

Н.

Відповідь:

5.17. Задача д2

Необхідно знати:

5.17.1. Диференційні рівняння руху матеріальної точки в проекціях на декартові осі координат:

(5.65)

де: — проекції вектора прискорення на декартові осі координат;

— проекції вектора сили , що діє на точку, на декартові осі координат;

— проекції рівнодійної системи сил, котрі діють на точку, на декартові осі координат.

Необхідно вміти:

5.17.2. Брати похідні від різних функцій.

Приклад 17. Рух матеріальної точки масою кг заданий рівнянням

Визначити величину й напрямок рівнодійної системи сил, що діють на точку, в момент с.

Розв’язання.

Для розв’язання задачі застосуємо диференційні рівняння руху матеріальної точки в проекціях на декартові осі координат (рівн.5.65), згідно яким

двічі диференціюючи за часом рівняння руху точки:

і підставляючи в рівняння (а):

отримуємо:

У заданий момент часу с

Н.

Рівнодійна утворює з віссю абсцис кут , косинус якого

.

Відповідь:

Н. Рівнодійна утворює з віссю абсцис кут .