5.14. Задача к6

Необхідно знати:

5.14.1.Наслідок теореми Ейлера-Даламбера:

Обертання твердого тіла навколо нерухомої точки в кожний момент часу можна розглядати як обертання навколо деякої осі, що проходить через нерухому точку і називається миттєвою віссю обертання.

5.14.2. Формули, за якими визначаються:

кутова швидкість тіла, що обертається навколо нерухомої точки:

(5.54)

де: — відстань точки А до миттєвої осі обертання; — його кутове прискорення:

. (5.55)

Кутове прискорення тіла, що обертається навколо нерухомого центру, геометрично дорівнює швидкості точки, що описує годограф його вектора кутової швидкості.

5.14.3. Формули, за якими визначаються:

вектор швидкості точки тіла, що обертається навколо нерухомого центру:

(5.56)

його модуль

(5.57)

вектор прискорення

(5.58)

Прискорення будь-якої точки тіла дорівнює геометричній сумі її доосьового та обертального прискорень:

величини та ;

(5.59)

(5.60)

де: — відстань від точки М до прямої, уздовж якої спрямований вектор

5.14.4. Вектор доосьового прискорення спрямований перпендикулярно до миттєвої осі обертання.

5.14.5. Напрямок вектора обертального прискорення визначається векторним добутком

(5.61)

Необхідно вміти:

5.14.6. Визначати положення миттєвої осі обертання — вона проходить через дві нерухомі точки.

5.14.7. Знаходити напрямок вектора, що визначається векторним добутком (див. курс вищої математики).

5.14.8. Обчислювати величину вектора, який дорівнює сумі двох векторів (див. § 5.13.9).

Приклад 14. Конічна шестерня 1 (рис. 5.38) за Т = с, рівномірно обкочує нерухому конічну шестерню 2 так, що точка О є нерухомою. Визначити швидкість та прискорення точки М рухомої шестерні у вказаному на рис. 5.38 положенні, якщо ОС = 20 см.

Рисунок 5.38

Розв’язання.

1. Знаходимо швидкість точки С, що при коченні шестерні 1 по нерухомій шестерні 2 описує коло радіусу СО₁ (рис. 5.39) за Т = с,

Оскільки

см.

отримуємо

см/с.

Припускаємо, що вектор спрямований на читача перпендикулярно до площини креслення, тобто (рис. 5.39)

Рисунок 5.39

2. Оскільки рух шестерні 1 відбувається без ковзання по нерухомій шестерні 2, то швидкість її точки А дорівнює нулю, а значить ОА є миттєвою віссю обертання шестерні 1. Миттєву вісь обертання позначимо ОР (рис. 5.39).

3. Знаходимо відстань точки С та М до миттєвої осі обертання:

см;

см.

4. За формулою знаходимо кутову швидкість шестерні 1

с^-1

Вектор кутової швидкості відкладаємо уздовж миттєвої осі обертання ( ) так, щоб з кінця цього вектора обертання шестерні 1 виглядало як таке, що здійснюється супроти годинникової стрілки.

5. За формулою у якій — швидкість точки, що описує годограф вектора кутової швидкості, знаходимо кутове прискорення шестерні. Так як годографом вектора є коло радіусом . котре описується з частотою обкочування шестернею 1 нерухомої шестерні, то

с^-2

Значить, с^-2.

Вектор спрямований уздовж дотичної до кола радіуса у бік руху точки , тобто він буде перпендикулярним до площини креслення і спрямований від читача. Отже вектор , що відкладається від нерухомого центру, буде спрямований уздовж від’ємного напрямку осі абсцис.

6. Знаходимо швидкість точки :

см/с

Вектор має той самий напрямок, що і вектор , тобто він є перпендикулярним до площини креслення і спрямований до читача.

7. Знаходимо прискорення точки :

см/с².

Вектор спрямований уздовж до миттєвої осі обертання.

Рисунок 5.40

см/с².

Вектор спрямований перпендикулярно до і знаходиться у площині рисунку, складаючи з вектором кут .

Кут , тоді

см/с².

Відповідь:

см/с ; см/с².