5.9. Задача к1

Необхідно знати:

5.9.1. Координатний спосіб задання руху точки. Сутність котрого полягає в тому, що задаються координати точки як функція часу

(5.20)

Якщо рух точки відбувається в одній площині, то, прийнявши її за площину , отримаємо

(5.21)

Рівняння (5.20) і (5.21) являють собою рівняння руху точки в декартових координатах. Вони одночасно є рівняннями траєкторії точки в параметричній формі.

5.9.2. Для отримання рівняння траєкторії в координатній (явній) формі, необхідно з рівнянь (5.20) або (5.21) якимось чином виключити параметр

5.9.3. Формули, за якими визначаються:

а) проекції на декартові осі координат вектора швидкості

(5.22)

та вектора прискорення

(5.23)

б) модуль вектора швидкості

(5.24)

та вектора прискорення

(5.25)

(5.26)

в) величина тангенціального (дотичного) прискорення

(5.27)

(5.28)

г) величина нормального прискорення

(5.29)

(5.30)

де: — радіус кривизни траєкторії.

Формулу (5.29) застосовують також і для визначення радіуса кривизни траєкторії. В цьому випадку нормальне прискорення визначається за формулою (5.30).

Необхідно вміти:

5.9.4. Брати похідні від різних функцій.

5.9.5. Застосовувати різні тригонометричні тотожності, зокрема

Приклад 9. Задані рівняння руху точки

( — в метрах, — в секундах).

Визначити рівняння траєкторії, для моменту =2 с знайти швидкість та прискорення точки, а також її дотичне і нормальне прискорення та радіус кривизни траєкторії.

Розв’язання.

1. Рух точки заданий координатним способом. Для визначення рівняння траєкторії точки із заданих рівнянь руху визначаємо час З другого рівняння маємо

Підставляючи в перше, отримуємо

Таким чином, траєкторією точки є синусоїди (рис. 5.21).

2. Визначаємо швидкість точки

Рисунок 5.21

При :

м/с; м/с;

м/с.

3. Визначаємо прискорення точки

При :

м/с²; м/с²;

м/с².

4. За формулою

знаходимо тангенціальне прискорення в момент :

м/с².

5. Обчислюємо нормальне прискорення

м/с².

6. За формулою знаходимо радіус кривизни траєкторії м.

Відповідь:

При

м/с

м/с² м/с²

м/с² м.

5.10. Задача к2

Необхідно знати:

5.10.1. Поступальний рух твердого тіла визначається рухом однієї з його точок.

5.102. Формули, що визначають за заданим законом поступального руху твердого тіла вздовж прямолінійної траєкторії

(5.31)

його швидкість

(5.32)

та прискорення

(5.33)

5.10.3. Формули, що визначають згідно до заданого закону обертання твердого тіла навколо нерухомої осі

(5.34)

його кутову швидкість

(5.35)

та кутове прискорення

(5.36)

5.10.4. Швидкість точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі, чисельно дорівнює добутку кутової швидкості тіла на відстань даної точки до осі обертання (радіус обертання).

(5.37)

Вектор цієї швидкості спрямований уздовж дотичної до кола, по якому переміщується точка, в бік обертання тіла. Оскільки дотична до кола перпендикулярна його радіуса, то вектор швидкості також є перпендикулярним до цього радіуса.

5.10.5. Вектор прискорення точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює геометричній сумі її тангенціального (обертального) та нормального (доцентрового) прискорень (рис. 5.22).

Рисунок 5.22

(5.38)

величини яких визначаються за формулами

(5.39)

(5.40)

(5.41)

5.10.6. При передачі обертань шляхом безпосереднього дотику (рис. 5.23, а) або за допомогою паса (рис. 5.23, б) кути повертання коліс (їхні кутові швидкості та кутові прискорення) обернено пропорційні їх радіусам (числам зубців):

(5.42)

Рисунок 5.23

Необхідно вміти.

5.10.7. Класифікувати найпростіші рухи твердого тіла.

5.10.8. Диференціювати різні функції.

Приклад 10. За заданим рівнянням обертання тіла І ( ) рад механізму, що зображений на рис. 5.24, в момент с знайти швидкість та прискорення точок А та В, якщо

Рисунок 5.24

Розв’язання.

1. Ланки механізму здійснюють такі рухи: колеса 1 та 2 — обертальний навколо нерухомих осей, що проходять через їхні центри та , тіло 3 — поступальний.

2. За заданим законом обертання колеса 1, використовуючи співвідношення

знаходимо закон обертання колеса 2

3. За формулами (5.35) та (5.36) знаходимо кутову швидкість та кутове прискорення колеса 2:

При t = 1 с; с^-1; с^-2.

4. Визначаємо швидкість та прискорення точки А:

м/с;

м/с²;

м/с²;

м/с².

5. Визначаємо швидкість та прискорення точки В

м/с;

м/с².

6. Вектори визначених кінематичних характеристик руху зображені на рис. 5.25.

Рисунок 5.25