Использование интерполяционного полинома Лагранжа

Для практических целей гораздо удобнее выражать производные непосредственно через известные значения функции в узлах.

Формула интерполяционного полинома Лагранжа:

Запишем его для случая трех узлов (n=2): .

При равномерном расположении узлов с шагом h получим

,

или .

Вычислим первую производную:

Запишем выражения для производной y_i = L (x_i ) при значениях x, равных x₀, x₁, x₂ соответственно

 h²y()

Выполнив аналогичные преобразования для четырех узлов (n=3), получим:

 h³y^IV()

Для пяти узлов (n=4) будем иметь:

 h⁴y^V()

Можно заметить, что при четных n наиболее простые выражения получаются для производных в средних (центральных) узлах ( y₁ при n=2 , y₂ при n=4 ). Они называются аппроксимациями производных с помощью центральных разностей и широко применяются на практике, т.к. погрешность в этих узлах наименьшая.

Выбор оптимального шага h .

12

12