Погрешности

Для таблично заданных функций возникают погрешности двух типов :

а) погрешности усечения , когда y(x) заменяют интерполяционным полиномом P(x) Погрешности аппроксимации (усечения) и при уменьшении шага h , как правило, уменьшаются.

в) погрешности округления , вызываемые неточным заданием исходных значений y_i ..Погрешности округления с уменьшением шага h возрастают.

Поэтому суммарная погрешность может убывать при уменьшении шага лишь до некоторого предельного значения .

Использование конечных разностей Симметричный вариант метода разделённых разностей

Используем значения y_n-1 = f(x_n-h) и y_n+1 = f(x_n+h) и найдём приближенное значение производной в точке x_n по формуле

Известно, что в математическом анализе производную определяют как предел выражения(4.1):

f '(x_n) =

Методическая погрешность приближённой формулы есть разность (4/1) и (4.2).

Оценим её на основе известной формулы Тейлора:

f(x+h) = f(x) +hf'(x)+h²/2!_*f''(x)+h³/3!_*f'''(x)+h⁴/3!_*f^IV(x)+h⁵/5!_*f^V(x)+…

f(x-h) = f(x) - hf'(x)+h²/2!_*f''(x)- h³/3!_*f'''(x)- h⁴/3!_*f^IV(x)+h⁵/5!_*f^V(x)+…,

откуда следует f(x+h) - f(x-h) =2[hf'(x)+ h³/3!_*f'''(x)+ h⁵/5!_*f^V(x)+…].

При небольших по модулю значениях шага h коэффициенты h^k/k! при старших производных быстро убывают с ростом k, поэтому сохраняем только два первых слагаемых и после несложных переходов получаем

[f(x+h) - f(x-h)] /2h f'(x) + h²/3!_* f'''(x)

Таким образом, методическая погрешность

_мет = h²/3!_*f'''(x)

при h<1 пропорциональна h². Значение f'''(x) можно получить приближенным вычислением, как это будет показано ниже.

Погрешность реализации _реал примем равной f/h (предполагаем, что знаменатель вычисляется с заведомо меньшей погрешностью); она растёт с уменьшением h и при этом _реал при h0. Полная погрешность

_полн = _мет + _реал = h²/3!_*f'''(x) + f/h

Картина баланса погрешностей этого процесса та же, что в разд.1.2. При малых h доминирует погрешность реализации, а при больших –погрешность метода. При фиксированных параметрах задачи (точность вычисления значений функции f(x), среднее значение f'''(x)) можно определить координаты точки минимума полной погрешности: h_оптим,

Вычисление старших производных методом симметричных разделённых разностей выполняется по формулам

f ''(x)  [f '(x+h) – f '(x–h)] / 2h = [f'(x+2h) – 2f (x) + f'(x–2h)] / 4h²

f '''(x)  [f ''(x+h)–f ''(x–h)] / 2h =[f'(x+3h)–3f (x+h) + 3f'(x–h) + f'(x–3h)] / 8h³

Обратим внимание на следующие моменты. Во-первых, согласно общей концепции конечных разностей повышение порядка производной приводит к необходимости использовать больше узловых значений функции; это увеличивает погрешность реализации расчетных формул. Во-вторых, увеличивается также и методическая погрешность, так как производная более высокого порядка приближенно определяется через приближенные значения производной меньшего порядка. Эти особенности нужно оценивать при использовании старших производных.

1. Одним из самых простых методов является аппроксимация производной, являющейся пределом отношения приращения функции y к приращению аргумента x, отношением конечных разностей y  y/x .

2. Пусть функция задана в табличном виде значениями y = y₀, y₁, . . . , y_n при значениях аргумента x = x₀, x₁, . . . , x_n . Пусть шаг между соседними значениями аргумента x=x_i+1 - x_i постоянный и равен h=x . В зависимости от способа вычисления конечных разностей получим и разные формулы для вычисления производной в одной и той же точке, например, при x = x₁ .

3. Ведем обозначения индексов для левых конечных разностей - L, правых – R, центральных – C. Тогда для левых разностей будем иметь:

Для правых разностей:

Для центральных разностей: