11

Лекция 5 10.11.2006

Тема :

6. « Решение систем линейных алгебраических уравнений»

СЛУ часто встречаются в вычислительной практике как составная часть задачи. Так , например , в задачах математической физики вообще никаких уравнений кроме линейных не решаем , поскольку решение каждой сложной нелинейной задачи сводится многократному решению линейных систем.

Вообще надо сказать , что о задаче решения линейных систем как о единой задаче стоит говорить лишь когда число уравнений невелико. В этом случае это сравнительно простая задача и стандартные программы для решения линейных систем есть на всех вычислительных машинах.

Чем больше количество уравнений в системе , тем более специальную , специфическую структуру она имеет и тем более специальные свойства необходимо использовать для решения таких систем.

Некоторые виды таких систем будут рассмотрены .

1. Общие сведения и определения

Рассмотрим систему , состоящую из m ЛА уравнений с n неизвестными

или в матричном виде ,

где А – прямоугольная матрица размерности m x n .

Определение 1.

Решением СЛАУ называется такая упорядоченная совокупность чисел

x₁=c₁ , x₂=c₂, … , x_n=c_n которая обращает все уравнения СЛАУ в верные равенства.

Определение 2 .

Прямыми методами решения СЛАУ называются методы , дающие решение системы за конечное число арифметических операций, которое можно по расчетной формулам оценить заранее до начала решения . Решение является точным.

При этом надо понимать, что в вычислительной математике понятие «точное решение» есть «решение с точностью до погрешности округления» , т.е. решение , которое можно было бы получить на идеализированном компьютере с бесконечной разрядностью машинного слова. В реальности погрешности округления имеются , поэтому мы говорим что «метод точный» с некоторой условностью.

Определение 3.

Итерационными методами решения СЛАУ называются методы , дающие решение системы уравнений как предел последовательных приближений – итераций , вычисляемых по единообразной схеме, начиная с некоторого начального приближения - « 0-й итерации» .

Решение является приближенным, но с любой заданной погрешностью. Требуемое количество вычислительных операций определяется в процессе счета и не может быть определено заранее.

2. Метод Гаусса

Наиболее распространенными прямыми методами решения СЛАУ являются методы исключения или методы исключения Гаусса.

Рассмотрим СЛАУ:

или в матричном виде ,

где А –квадратная матрица размерности n x n .

x,b – n- мерные векторы , i=1,2,…,n

Будем полагать , что матрица А невырожденная , т.е. детерминант А0 и , следовательно , решение СЛАУ существует и оно единственное.

Основная идея метода состоит в том, чтобы исходную СЛАУ

A x = b

методом исключения свести к системе вида A’ x = b’, где A’ - треугольная (например, верхняя) матрица.

Рассмотрим более подробно процесс преобразования исходной матрицы A к треугольной A’. Предполагая, что a₁₁  0 , разделим первое уравнение СЛАУ на коэффициент a₁₁:

Вычтем полученное уравнение из всех остальных уравнений , умножая его на соответствующий коэффициент a_i1 . В результате первое неизвестное x₁ окажется исключенным из всех уравнений, кроме первого, и СЛАУ примет вид:

где

Далее, предполагая, что a₂₂  0, делим второе уравнение преобразованной системы на коэффициент . Затем также умножаем его на соответствующие коэффициенты a_i2 и вычитаем из всех оставшихся уравнений преобразованной системы , при этом из них будут исключены неизвестные x₂ , начиная с третьего уравнения. Продолжая этот процесс исключения неизвестных, вместо второй системы получим эквивалентную систему :

В общем случае формулы имеют вид :

а) для коэффициентов в самом верхнем уравнении на k- ом шаге исключения

б) для остальных коэффициентов

Процесс сведения СЛАУ к системе с треугольной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса. Выполнение указанных преобразований возможно, если получающиеся при расчете коэффициенты отличны от нуля. В противном случае нужно производить перестановку уравнений, т.к. среди коэффициентов обязательно найдется хотя бы один, отличный от нуля, - иначе матрица A была бы вырожденной.

В результате прямого хода СЛАУ приобретает вид:

После такого преобразования алгоритм решения уже прост: из последнего уравнения легко находится x_n , затем из предпоследнего x_n-1 и т.д.

Этот этап решения называют обратным ходом метода Гаусса.

В результате обратного хода

Описанный алгоритм иногда называют схемой «единственного деления» , а элемент , на который производится деление – ведущим элементом.

Если очередной ведущий элемент окажется нулевым, решений прерывается. Если очередной ведущий элемент близок к нулю – решение продолжится , но погрешности могут резко возрасти.

Погрешность вычислений, связанную с ошибками округления, можно уменьшить, если выполнить перестановку уравнений в СЛАУ таким образом, чтобы соблюдалось условие .

Общее число арифметических операций S, необходимых для решения СЛАУ методом Гаусса определяется по следующей формуле

S = 2/3×n×(n+1)×(n+2) + n×(n-1),

где n - количество неизвестных.

При больших n .