8.7.Переходные процессы в машинах
8.7.1.Разбег с учетом статической характеристики двигателя
Изучение переходных процессов начнем с рассмотрения неуправляемого разбега машины. Предположим сначала, что может быть принята статическая характеристика двигателя. Поскольку разбег является неуправляемым, то
u t u0 const . Предположим также, что приведенный момент инерции явля-
ется постоянным, а приведенный момент сил сопротивления явно зависит от координаты q ; тогда уравнение движения (8.17) принимает следующий вид:
J0 |
q Fs u0 |
,q Qc0 |
q . |
|
|
|
(8.56) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пренебрежение переменными компонентами |
|
q |
|
|
|||
J |
и Qc q,q обычно ока- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
зывается допустимым при исследовании переходных процессов.
Разбегу машины соответствует решение уравнения (8.56) при начальных условиях t 0 , q 0. Обозначив q , получим дифференциальное уравнение
с разделяющимися переменными
J0 d Fs u0 , Qc0 . dt
Решая его, находим
|
|
|
d |
|
t . |
t J0 |
|
|
|
||
F |
u |
, Q |
|
||
0 |
s |
0 |
c0 |
|
|
(8.57)
(8.58)
Обращением функции (8.58) получим зависимость t . Время разбега можно определить как
0 |
|
|
d |
|
|
|
tp t 0 J0 |
|
|
|
. |
(8.59) |
|
F |
u |
, Q |
|
|||
0 |
s |
0 |
c0 |
|
|
|
Однако легко показать, что интеграл этот расходится. Действительно, при0 знаменатель дроби, стоящей под интегралом, обращается в нуль (по-
скольку 0 – угловая скорость в установившемся движении, определяемая из
уравнения (8.26)); поэтому интеграл является несобственным; он расходится, если
dFs |
u |
, |
dQc0 |
|
s 0 . |
(8.60) |
d |
0 |
0 |
d |
0 |
|
|
Поскольку s + > 0 (условие устойчивости режима установившегося движения), теоретически время разбега бесконечно велико. Поэтому условно за время разбега обычно принимается время достижения угловой скорости, близкой к0 , но меньшей ее. Чаще всего принимают, что
220
tp J0 |
0,95 0 |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
. |
(8.61) |
||
F |
u |
, Q |
|
||||
|
0 |
s |
0 |
c0 |
|
|
|
Из этой формулы видно, что время разбега пропорционально |
J0 ; поэтому |
||||||
уменьшение момента инерции машины является одним из эффективных способов снижения времени переходного процесса.
Разбег при линейных характеристиках машины и двигателя
Пусть
Fs u0 , M0 s 0 , |
|
Qc0 M0 |
0 , |
(8.62) |
|||||||
где M0 Fs u0 , 0 Qc0 0 . Подставив (8.62) в (8.56), получим |
|
||||||||||
J0 s 0 0 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поделив оба слагаемых на s и учитывая, что |
J0 |
|
M |
, имеем |
|
||||||
s |
|
||||||||||
M 0 . |
|
|
(8.63) |
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение этого уравнения записывается в виде |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M . |
|
|
|
|
|
|||
|
C e |
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из начального условия 0 0 находим, что C 0 ; отсюда |
|
||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
e |
M |
|
|
|
|
|
|
(8.64) |
||
0 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая, что 0,95 0 , t tp , получаем
tp M ln 0,05 3 M .
Таким образом, время разбега пропорционально величине M .
Определение момента в передаточном механизме. Найдем момент MП ,
возникающий при разбеге в передаточном механизме. Составляя уравнение движения ротора двигателя, имеем
JД MД MП M0 s 0 MП,
где JД – момент инерции ротора; поскольку
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
J0 |
|
|
1 |
|
M |
|
M |
|
|
|
|||
0 M |
e |
|
|
, |
0 0 e |
|
, |
M |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
221
получаем |
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
J |
|
s J |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
Д |
|
|||||||||||
MП M0 |
s 0 |
|
|
Д 0 |
e |
|
M M0 0 |
e |
M |
|
|
|
, |
(8.65) |
|||||||
|
M |
|
|
|
J0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где JM J0 JД . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
МП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 8.8 построены воз- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можные |
|
формы |
зависимости |
||||||||
|
|
JM s JД |
|
|
|
|
MП t при разбеге. |
Очевидно, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
что при JM s JД момент в |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
передаточном механизме, воз- |
||||||||||
M 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
никающий в процессе разбега, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
превышает момент в устано- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вившемся режиме. Более пред- |
||||||||||
|
|
|
|
|
JM s JД |
почтительным является условие |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
JM s JД , |
|
при |
котором |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
MП t |
не превосходит M0 в |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
течение всего переходного про- |
|||||||||||
цесса.
Рис. 8.8
8.7.2. Разбег с учетом динамической характеристики двигателя
Ограничимся рассмотрением системы с линейными характеристиками (8.62), запишем уравнения движения машины в форме
J Q Q |
Q M , |
|
|||||
|
0 |
|
c0 |
0 |
0 |
(8.66) |
|
|
|
|
Q M0 s 0 . |
|
|||
Q |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим движущий момент Q из первого уравнения
Q J0 M0 0 .
Подставим это выражение во второе уравнение, получим
J0 J0 M0 0 M0 s 0
или, после упрощений,
M M s 0 .
222
В дальнейшем будем предполагать, |
что M |
|
, |
и соответствующее |
||
s |
||||||
|
|
|
|
|
||
слагаемое в коэффициенте при может быть отброшено. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно получаем |
M 0 . |
|
|
(8.67) |
||
M |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Разбег описывается частным решением уравнения (8.67), соответствующим
определенным начальным условиям. Одно из этих условий очевидно: |
|
t 0, 0 . |
(8.68) |
Второе начальное условие требует более подробных объяснений. Дело в том, что в момент включения двигателя движущий момент равен нулю, а мо-
мент сопротивления Qc0 M0 0 0 (рис. 8.9). Поэтому в этот момент
времени разбег начаться не может. При неподвижном роторе начнется возрастание момента в соответствие с динамической характеристикой двигателя, в которой следует положить
0 :
Q Q M |
0 |
s . (8.69) |
|
0 |
Разбег начнется в тот момент, когда частное решение
уравнения |
(8.69), |
соответст- |
вующее условию Q 0 0 , дос- |
||
тигнет |
величины, |
равной |
Qc0 0 . |
Если отсчитывать |
|
M
M |
0 |
s |
Fs u0 , |
|
0 |
|
M0
M0 0
Qc0
0
Рис. 8.9
время разбега от этого момента, то в качестве второго начального условия следует принять
t 0 , |
0 . |
(8.70) |
|
|
|
Разыскивая общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (8.67), найдем сначала корни его характеристического уравнения
τ τM 2 τM 1 0 .
Решая это уравнение, находим
|
|
1 |
|
M2 4 M |
. |
(8.71) |
|
|
|||||
1,2 |
|
2 |
2 M |
|
||
|
|
|
||||
Далее необходимо рассмотреть два случая.
223
а). Если M 4 , то корни (8.71) являются вещественными и отрицательными. Решение уравнения (8.67) представляется в форме
0 C1 e 1 t C2 e 2 t .
Начальные условия (8.68) и (8.70) позволяют определить постоянные C1 и
C2 : |
2 0 |
|
|
|
|
1 0 |
|
||
C |
, |
C |
|
|
. |
||||
|
|
|
|||||||
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||
Разбег в этом случае является апериодическим процессом, при котором |
|||||||||
|
1 |
2 |
|
e 1 t |
|
|
1 |
e 2 t . |
(8.72) |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
1 2 |
|
|
1 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Примерная форма графика функции |
t показана на рис. 8.10. Угловая |
||||||||||||||
скорость монотонно возрастает, стремясь к |
|
|
0 . Можно показать, что при |
||||||||||||
всех t в этом случае 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б). Если M 4 , то корни (8.71) являются комплексными сопряженными: |
|||||||||||||||
|
|
1 |
j |
1 |
|
1 |
|
M |
n j k . |
(8.73) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1,2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
4 |
|
|
|||||
Используя начальные условия, находим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 e nt cos kt |
n sin kt . |
(8.74) |
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Разбег в этом случае оказывается затухающим колебательным процессом
ω |
|
(рис. 8.10). Максимальное значение угло- |
|||||
|
τM 4 τ |
вой скорости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 e k |
||||
ω0 |
|
|
max |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
достигается при |
t |
|
. В этом случае уг- |
|
|
τM 4 τ |
|
|
|
k |
|
|
|
ловая скорость в процессе разбега дости- |
||||||
|
|
|
гает значений, превосходящих 0 , что |
||||
|
|
t |
|||||
|
|
часто является нежелательным. |
|||||
|
Рис. 8.10 |
|
|
|
|
|
|
224