ГЛАВА 4. СИЛОВОЙ РАСЧЕТ МЕХАНИЗМОВ

4.1.Постановка задачи силового расчета

Вкурсе теоретической механики рассматривались две задачи динамики:

1.Дан закон движения материальной точки известной массы; требуется найти силу, действующую на точку (первая задача динамики);

2.Дана сила, приложенная к материальной точке; требуется найти закон движения точки (вторая задача динамики).

Втеории механизмов и машин первая задача динамики: при известном (заданном) законе движения ведущего звена (ведущих звеньев) механизма требуется найти силы, действующие в механизме. Решение этой задачи называют си-

ловым расчетом.

К заданным активным силам относятся:

а) Рабочая нагрузка Р = Р(х), где Р – рабочая нагрузка, х – координата точки приложения нагрузки.

Вболее сложных случаях нагрузка зависит также от скорости x , ускоренияx и времени t: P P(x, x, x,t) .

Если к механизму приложена не одна, а рабочих нагрузок, то для них задаются зависимостей:

В многоподвижных механизмах координаты, скорости и ускорения точек приложения нагрузок Pm зависят от всех обобщенных координат и их произ-

водных:

В дальнейшем будем предполагать, что рабочие нагрузки не зависят явно от времени и ускорений qu , поэтому выражения (4.4) будут представляться в фор-

ме:

130

б) Cилы тяжести звеньев Gi, i 1, , N , где N – число звеньев.

в) Упругие силы, возникающие при деформации пружин, также являются активными.

Целью силового расчета является определение обобщенных движущих сил и реакций во всех кинематических парах.

Обобщенные движущие силы – это обобщенные силы, которые необходимо приложить к входным звеньям механизма для того, чтобы получить заданное программное движение при выполнении рабочего процесса.

Реакции в кинематических парах – пассивные силы; как правило, это силы, распределенные по поверхностям соприкосновения конструктивных элементов, образующих пару. Ограничимся определением главных векторов и главных моментов сил реакций в каждой кинематической паре.

уравнения движения на основе теорем об изменении количества движения и кинетического момента.

KS – вектор количества движения s–го звена,

LSO – его кинетический момент,

Fsk – внешние силы, действующие на s–е звено, rsk – радиусы-векторы точек их приложения,

gs – число сил, приложенных к s–му звену.

Общее число векторных уравнений (4.7) равно 2N; проецируя их на оси координат, получаем 6N скалярных уравнений.

131

Пусть механизм не содержит избыточных связей. Тогда для него справедлива формула

s 1

где ps– число s–подвижных пар. Из уравнения (4.8) можно выразить число уравнений neq = 6N:

6N w 5 p1 4 p2 3 p3 2 p4 p5 .

Сравнивая число неизвестных nu и число уравнений neq , имеем:

s 1

При такой постановке задачи силового расчета число неизвестных всегда больше числа уравнений, что делает эту задачу неразрешимой. Она тем более неразрешима, если в механизме имеются избыточные связи, поскольку при этом число неизвестных реакций возрастает, а число уравнений остается неизменным.

При идеальных связях работа сил реакций каждой кинематической пары должна равняться нулю при любом возможном перемещении, т.е. должно быть

s 1

задачу силового расчета разрешимой. Часто в этом случае говорят о статиче-

ской определимости механизма.

132

4.2.Уравнения кинетостатики. Определение главного вектора

иглавного момента сил инерции

Силы инерции материальных точек s–го звена

где PS и RS – главные векторы активных сил и реакций связей, действующих

на s–е звено, M(0PS) и M(0RS) – их главные моменты относительно точки О. Вместо уравнений

Уравнения движения получили форму уравнений равновесия. Их называют уравнениями кинетостатики, а модель силового расчета механизма, основан-

ную на их применении, – кинетостатической моделью.

133

Для главного вектора сил инерции Φ и для главного момента их M(0 ) относительно точки О справедливы следующие выражения:

a). Поступательное движение звена. Учитывая, что ω=0, ε=0, найдем M(0 ) :

Здесь хс, yc, zc – координаты центра масс. Тогда:

134

Отсюда найдем проекции главного вектора сил инерции:

Подставляя найденные соотношения в выражение (4.17), найдем главный момент сил инерции в проекциях на координатные оси:

135

в). Плоское движение звена. Выберем в качестве полюса центр масс звена С. Введем систему координат Сxyz так, чтобы ось Сz была перпендикулярна плоскости движения звена. В осях Cxyz построим тензор инерции JС:

Тогда получим следующие выражения для главного вектора и главного момента сил инерции:

4.3. Решение уравнений кинетостатики

Для каждой структурной группы, не содержащей избыточных связей, справедлива структурная формула

S 1

где wG – число степеней подвижности группы, NG – число подвижных звеньев группы, pSG – число s-подвижных кинематических пар в группе. С другой стороны, как было показано выше, сумма

S 1

представляет собой число неизвестных движущих сил и реакций в идеальных связях, подлежащих определению. Сравнивая выражения (4.23) и (4.24), замечаем, что nu=6NG, т.е. число неизвестных сил равно числу уравнений кинетостатики. Таким образом, уравнения кинетостатики могут решаться последовательно для каждой структурной группы.

Силовой расчет следует производить в направлении, обратном геометрическому и кинематическому расчетам.

136

Особенности расчета плоского механизма.

Определяем компоненты реакций, лежащих в плоскости движения хОy (Rx, Ry, M 0Rz ), и обобщенные движущие силы.

Из-за наличия избыточных связей определение всех реакций второй группы (Rz, M 0Rx , M 0Ry ) становится невозможным.

Группы Ассура ВВП

Рис. 4.5

Всего 6 неизвестных: R12x, R12y, R23x, R23y, R03, M03(R) .

Для плоской двухзвенной группы можно составить 6 независимых уравнений кинетостатики.

137

Сумма моментов всех сил, действующих на звенья 2 и 3, относительно оси z:

(Р + Ф3)(yA – yB) – (R03 – G3)(xA – xB) + Ф2x(yA – yS2) –

– (Ф2y – G2)(xA – xS2) + M S 2 = 0,

M03(R) 0

Уравнения для звеньев 2 и 3:

R23x + P + Ф3 = 0,

R03 + R23y – G3 = 0.

R12x + Ф2x + P + Ф3 = 0;

R12y + Ф2y – G2 + R03 – G3 = 0.

138