Добавил:

Xer1t Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Теория механизмов и машин

Файл:

ЭКЗ / tmm_chapter3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.11.2019

Размер:

236.12 Кб

Скачать

☆

2.4. Геометрический анализ исполнительных механизмов промышленных роботов

Пространственный механизм со структурой «дерева».

1 2 3

0 q2

Рис. 1.11

Оsxsyszs – связана со звеном s, Таблица косинусов

zs-1	ys	M
	Os 1M		s
		Os M	s
		Os	xs
Os-1	O O
Os-1	ys-1s 1 s	s-1
xs-1	zs	s-1

Рис. 2.13

Оs-1xs-1ys-1zs-1 – связана со звеном s-1

Таблица 2.1

	xs	ys
xs-1	cos(xs-1,xs)	cos(xs-1,ys)
ys-1	cos(ys-1,xs)	cos(ys-1,ys)
zs-1	cos(zs-1,xs)	cos(zs-1,ys)

zs cos(xs-1,zs) cos(ys-1,zs) cos(zs-1,zs)

Обычно для краткости эти косинусы обозначают буквами (табл. 2.2):

			Таблица 2.2

	xs	ys	zs
xs-1	11	12	13
ys-1	21	22	23
zs-1	31	32	33

Сумма квадратов косинусов в каждой строке равна единице, т.е.

211 + 212 + 213 = 1;221 + 222 + 223 = 1;231 + 232 + 233 = 1;

Сумма попарных произведений равна 0, т.е.

11 21+ 12 22 + 13 23 = 0;21 31+ 22 32 + 23 33 = 0;11 31+ 12 32 + 13 33 = 0.

zs-1	ys	M
	Os 1M		s
		Os M	s
		Os	xs
Os-1	O O
Os-1	ys-1s 1 s	s-1
xs-1	zs	s-1

Рис. 2.13

Матрица направляющих косинусов Аs-1,s

	11		12		13
A		21		22		23	.	(2.39)
s 1,s		21		22		23
	31		32		33
	31		32		33		s 1,s
Аs-1,s+1 = Аs-1,s Аs,s+1 .								(2.40)
Os 1M Os 1Os OsM .								(2.41)

x(s 1)

Вектор Os 1M в (s–1)-й системе координат: rM(s 1) yM(s 1) .

zM(s 1)

xM(s)

Вектор OsM в s-й системе координат: rM(s) yM(s) .

zM(s)

					(s 1)
Вектор O	O	в (s–1)-й системе координат:	r(s 1)	x0s
Вектор O	O	в (s–1)-й системе координат:	r(s 1)	y(s 1)		.
	s 1 s		0s		0s

				z(s 1)
					0s

(2.42)

(2.43)

(2.44)

Выражение (2.41) в проекциях на оси (s–1)-й системы координат:

rM(s 1) r0(ss 1) As 1,srM(s) .

Четырехмерные векторы-столбцы координат:

		(s 1)		(s)
	xM		xM
	y(s 1)		y(s)
R(Ms 1)		M	, R(Ms)	M	.
	zM(s 1)		zM(s)
		1		1
		1		1

(2.45)

(2.46)

Блочные матрицы 4х4 (матрицами перехода от s-й системы координат к (s– 1)-й системе):

		11		12		13		(s 1)
		11		12		13		x0s		As 1,s	r0(ss 1)
								y(s 1)		As 1,s	r0(ss 1)
H	s 1,s		21		22		23	0s				.	(2.47)
H			21		22		23	0s				.	(2.47)
								(s 1)	0 0 0		1
		31		32		33		z0s	0 0 0		1
		0		0		0		1
		0		0		0		1

Вместо

r(s 1)	r(s 1)	A		r(s) .	(2.45)
M	0s		s 1,s	M
записываем
R(Ms 1) Hs 1,sR(Ms) ,					(2.48)
R(Ms 2) Hs 2,s 1 R(Ms 1)			Hs 2,s 1 Hs 1,s R(Ms) ,		(2.48)
R(Ms 2) Hs 2,s 1 R(Ms 1)			Hs 2,s 1 Hs 1,s R(Ms) ,

Перемножая последовательно матрицы перехода, можно дойти до неподвижной системы координат:

R(0)

...H

(n) H

R(n) .

(2.49)

s 1,s

n 1,n M

R(Mn)

– вектор-столбец координат

zs-1

точки М в системе, связанной со звеном

Os 1M

Os M

R(0)M

–

вектор-столбец

координат

Os-1

O O

точки М в неподвижной системе.

ys-1s 1 s

s-1

xs-1

Рис. 2.13

1. Матрица перехода во вращательной кинематической паре.

ys ys*

zs-1

			s
		Os	xs
Os-1	O O	Os	qs
Os-1	ys-1s 1 s	zs,zs*	xs*
xs-1		zs,zs*	s-1

Рис.2.14

qs – угол поворота s-го звена относительно (s–1)-го.

Ozs совпадает с осью вращения во вращательной КП.

Os*хs*уs*zs* – начальное положение

Osхsуszs (при qs=0).

Матрица направляющих косинусов Аs-1,s :
As 1,s (qs ) As 1,s* (0) As*,s (qs ) .	(2.50)

Матрица Аs-1,s*(0) является постоянной.

Составим таблицу направляющих косинусов для As*,s(qs) .

			Таблица 2.3
	xs	ys	zs
xs*	cos(qs)	cos(qs+ /2)	cos( /2)
ys*	cos(3 /2+qs)	cos(qs)	cos( /2)
zs*	cos( /2)	cos( /2)	cos(0)

Тогда матрица Аs*,s(qs) равна:

cos qs

sin qs

) sin q

cos q

P (q

) .

(2.51)

s*,s

Матрица Pz(qs) называется матрицей поворота.

Матрица перехода во вращательной кинематической паре:

	As 1,s* (0)	Pz (qs )	(s 1)

H B			r0s	.	(2.52)
	0 0	0	1
s 1,s

2. Матрица перехода в поступательной кинематической паре.

	ys*					qs –	поступательное перемещение
zs-1	ys*		qs	ys		звена s относительно звена (s–1).
zs-1			qs
	Os 1Os				s	Oхs совпадает с линией относитель-
Os 1O*s					s	Oхs совпадает с линией относитель-
Os-1 ys-1			Os*	Os	xs, xs* ного перемещения звеньев s и (s–1).
Os-1 ys-1		z	*		s-1	* * * *		– начальное положение
xs-1		s	zs		s-1	Os хs	уs zs	– начальное положение
	Рис. 2.15					Osхsуszs (при qs=0).
	Рис. 2.15

r0(ss 1) (qs ) r0(ss*1) (0) As 1,s*r0(ss*)

	11			12		13 qs									11				(2.53)
r(s 1)	(0)								0	r(s 1)	(0) q							.	(2.53)
r(s 1)	(0)		21		22				0	r(s 1)	(0) q						21	.
0s*			21		22		23			0s*				s			21
		31		32					0							31
		31		32		33			0							31
											11
											11
	П					A		r(s 1) (0) q					21
	П					s 1,s			0s*		s		21			.			(2.54)
	Hs 1,s (qs )											31				.			(2.54)
												31

					0	0	0			1
					0	0	0			1

Пример.

Степень подвижности:

z0,z1,z1*,x2,x2*

y3*

W=6 3-5 3=3.

Обобщенные координаты:

q1, q2, q3.

O1x1y1z1, O2x2y2z2, O3x3y3z3 – связа-

z3,z3*

ны с 1,2,3 звеньями соответственно.

y2*

O*2

Начальные положения каждой из

систем координат:

O1*x1*y1*z1*, O2*x2*y2*z2*, O3*x3*y3*z3*.

O1*x1*y1*z1*

совпадает

непод-

x0x1*

вижной системой Ox0y0z0.

y0,y1*

Рис. 2.16

a, b, c – конструктивные параметры.

(0)

y(0)

Построить функцию положения точки М: R(0)M

zM(0)

Решение.

xM(3)

z0,z1,z1*,x2,x2*

y3*

(3)

yM(3)

(3)

z3,z3*

R(0) H B

(q )H П (q )H B

(q )R(3) .

y2*

O*2

z2*

x0x1*

y0,y1*

Рис. 2.16

Составим матрицы перехода.
H B			A		(0) P (q )					r(0)
			A		(0) P (q )					r(0)
			01*				z	1		01
	01			0		0	0			1

		1	0		0	cos q1				sin q1			0			0	cos q			sin q	0	0
		1	0		0	cos q1				sin q1			0			0	cos q			sin q	0	0
	0		1		0	sin q				cos q			0			0			1	1
	0		1		0	sin q				cos q			0			0		sin q		cos q	0	0
								1			1							sin q		cos q	0	0	.
																			1	1
		0	0 1				0		0							0		0		0	1 0
		0	0 1				0		0				1			0		0		0	1 0


						0 0 0										1	0			0	0 1
						0 0 0										1	0			0	0 1
Для составления матрицы А12 построим табл. 2.4 направляющих косинусов:
																						Таблица 2.4

									x2									y2					z2
x1									0									0					1
y1									0									–1					0
z1									1									0					0
Тогда матрица перехода							H		(q )
								12	2
												0	0		1			0
												0	0		1			0
												0		1 0				0
							H	П	(q )			0		1 0				0	.
								12	2			1	0		0		a q2
												1	0		0		a q2
												0	0		0			1
												0	0		0			1

Для построения матрицы А23*(0) составим табл. 2.5 направляющих косинусов: Таблица 2.5

									x3*					y3*				z3*
		x2						0							1			0
		y2							–1						0			0
		z2						0							0			1
Найдем матрицу перехода НB											(q ) :
										23		3
H B				A23*(0) Pz (q3 )					(2)
									(2)
									r03
	23			0		0	0		1

			0	1	0	cos q3			sin q3			0	0		sin q	cos q	0	0
			0	1	0	cos q3			sin q3			0	0		sin q	cos q	0	0
	1			0	0	sin q			cos q			0	b		3	3
	1			0	0	sin q			cos q			0	b		cos q	sin q	0	b
							3				3				cos q	sin q	0	b	.
															3	3
			0	0 1			0			0		1	0		0	0	1 0
			0	0 1			0			0		1	0		0	0	1 0


						0 0		0					1		0	0	0 1
						0 0		0					1		0	0	0 1

Подставляя найденные матрицы перехода, получим:

	cos q1		sin q1	0	0	0	0	1	0	sin q3	cos q3	0	0	c
R(0)	sin q		cos q	0	0	0	1	0	0	cos q	sin q	0	b		0
R(0)		1	1							3	3					.
M		0	0	1	0	1	0	0	a q2	0	0	1	0		0
		0	0	1	0	1	0	0	a q2	0	0	1	0		0
		0	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0	1		1

2.5. Кинематический анализ исполнительных механизмов промышленных роботов

Задачей кинематического анализа является определение скоростей и ускорений точек механизма и угловых скоростей и угловых ускорений его звеньев.

(0)

Hon

...

qn R

(0)

n n

Hon

(0)

(n)

qsql

(0)

s 1 l 1

s 1

(n)

n Hon q R(n) (2.55)

s 1 qs s M

(2.56)

В выражения (2.55) и (2.56) входят первые и вторые частные производные от матриц перехода.

																				0
																				0
					HsB 1,s								As 1,s* (0) P (qs )							0
					HsB 1,s	(q			s		)		As 1,s* (0) P (qs )							0		,
						(q					)											,
					qs															0
																				0
															0	0	0			0
															0	0	0			0
	sin qs		cos qs
	sin qs		cos qs				0
где		cos qs	sin qs				0
где	P (qs )	cos qs	sin qs				0			.
		0	0				0
		0	0				0
																					0
																					0
				2 HsB 1,s													P (qs )
				2 HsB 1,s			(q			s	) As 1,s* (0)						P (qs )				0		,
			2				(q				) As 1,s* (0)												,
			2																		0
					qs																0
					qs										0	0	0				0
															0	0	0				0
	cos qs				sin qs
	cos qs				sin qs			0
где		sin qs		cos qs				0
где	P (qs )	sin qs		cos qs				0			.
		0	0					0
		0	0					0
												0			0	0
					П							0			0	0		11
					Hs 1,s	(q			s		)	0			0	0	21		= const .
						(q					)	0 0 0					31		= const .
					qs							0 0 0					31
												0			0	0	0
												0			0	0	0
							2				П					0	0
							2				П
								Hs 1,s				(q			)			.
								Hs 1,s						s
											2
											2					0	0
								qs								0	0
								qs

Определение угловых скоростей.

Ωm Ωm 1 ωm , m=1, … n.

(2.57)

(2.58)

(2.59)

(2.60)

(2.61)

Ωm ,Ωm 1 – вектора угловых скоростей в неподвижной системе координат, ωm – вектор относительной угловой скорости звена m относительно (m–1).

(m 1) x

(m)

Ωm

Ωm 1

(m 1) y , ωm

(m)

(m 1) z

В проекциях на оси (m–1)-й системы координат:

Ω(mm) Ω(mm)1 ω(mm) .

Ω(m 1)

Ω(m) . Отсюда Ω(m) A 1

Ω(m 1) .

m 1

m 1,m

m 1

m 1,m

m 1

Ω(m) A 1

Ω(m 1)

ω(m)

, m=1, … n.

m 1,m

m 1

(2.62)

(2.63)

(2.64)

(2.65)

Определения угловых ускорений.
dωm dωm		Ωm ωm .	(2.66)
dt	dt

dωm dt – абсолютная производная по времени от вектора,

dωm dt – относительная производная по времени от вектора.

продифференцируем (2.61) по времени. При этом учтем, что абсолютная производная по времени от вектора dωm dt равна геометрической сумме отно-

сительной производной того же вектора dωm dt и векторного произведения вектора угловой скорости вращения относительной системы координат Ωm на дифференцируемый вектор:

dωm dωm Ωm ωm .	(2.66)
dt dt
Em Em 1 Ωm ωm εm .	(2.67)

В проекциях на оси (m–1)-й системы координат:

E(m) A 1		E(m 1)	Ω(m) ω(m) ε(m) , m=1, … , n .		(2.68)
m	m 1,m	m 1	m	m m

ε(mm) 0 .q

В соответствии с условленным ранее правилом выбора осей локальной системы координат во вращательной кинематической паре вектор-столбец проекций углового ускорения на оси m-й системы координат представляет собой:

0 ε(mm) 0 .

Проецируя (2.67) на оси m-й системы координат и используя соотношение E(mm)1 Am11,m E(mm 11) , получим следующее выражение для рекуррентной процедуры отыскания угловых ускорений:

E(m) A 1		E(m 1)	Ω(m) ω(m) ε(m) , m=1, … , n .		(2.68)
m	m 1,m	m 1	m	m m

Пример определения угловых скоростей и ускорений.
	z0,z1,z1,x2,x2				y3*
			b	y3		c
			b			c		M
								M									0						0						0
								x3									0						0						0
		O2						x3				ω(1)					0		;ω(2)				0			;ω(3)			0			;
		O2						q3				ω(1)					0		;ω(2)				0			;ω(3)			0			;
y2									x3*				1							2						3
y2					O				x3*
					O		3															0
z2			q2	z3,z3*			3									q1						0						q3
z2			q2	z3,z3*												0						0					0
	y2*	O*2											ε1(1)				0 ;ε(2)2 0							;ε3(3) 0						.

																						0
z2*																q1						0					q3
z2*		O1											Угловые скорости m = 1,2,3:
	a	O1			y1								Угловые скорости m = 1,2,3:
	a				y1
	*			q1																									0
	*																												0
x0x1 x1				y0,y1*									(1)				1		(0)			(1)				(1)			0
												Ω1			A0,1Ω0						ω1				ω1				0		;
	Рис. 2.16

																											q1
										0		0		1			0
										0		0		1			0			q
			(2)		1		(1)	(2)		0		1		0			0				1
			Ω2	A1,2Ω1 ω2						0		1		0			0			0		;

									1 0											0
									1 0					0 q1						0
							sin q		cos q				0							0
							sin q		cos q				0	q						0		q sin q
	(3)	1	(2)		(3)			3	sin q3			3	0			1				0			1			3
	Ω3 A2,3Ω2 ω3						cos q3		sin q3				0			0				0		q1 cos q3					.

							0			0			1	0
							0			0			1	0					q3							q3
Угловые ускорения:																				0
																				0
			E1(1) A0,11E(0)0					Ω1(1) ω1(1)				ε1(1)		ε1(1)				0			;


																			q1
													0		0			1		0
													0		0			1		0		q
		(2)	1	(1)			(2)	(2)		(2)			0	1				0		0					1
		E2	A1,2E1 Ω2 ω2						ε2				0	1				0		0		0				;

												1										0
E(3)	A 1E(2) Ω(3)				ω(3)	ε(3)						1			0 0 q1							0
3	2,3	2	3		3		3
sin q3		cos q3		0								0				0
sin q3		cos q3		0	q1		q1 sin q3					0				0			q1 sin q3					q1q3 cos q3
		sin q3		0								0				0
cos q3		sin q3		0	0		q1 cos q3					0				0		q1 cos q3							q1q3 sin q3 .

0		0		1 0
0		0		1 0				q3			q3			q3											q3

Соседние файлы в папке ЭКЗ

#
26.11.2019317.27 Кб16tmm_chapter1.pdf
#
26.11.2019421.16 Кб15tmm_chapter10.pdf
#
26.11.2019330.63 Кб13tmm_chapter2.pdf
#
26.11.2019236.12 Кб12tmm_chapter3.pdf
#
26.11.2019578.58 Кб14tmm_chapter4.pdf
#
26.11.2019368.98 Кб15tmm_chapter5.pdf
#
26.11.2019544.88 Кб12tmm_chapter6.pdf
#
26.11.2019621.4 Кб13tmm_chapter7.pdf
#
26.11.2019264.17 Кб12tmm_chapter8.pdf