3.3. Передатна функція ланки, заданої електричною схемою

 

Для визначення передатної функції ланки, заданої електричною схемою, скористаємось перетворенням Лапласа. Виходячи з того, що повний опір двополюсника з послідовно включеними електричними елементами R, L і C має зображення , знайдемо для прикладу ПФ ланки, представленої пасивною електричною схемою, відомою як інтегруючий RC- ланцюжок (рис. 3.2). Зображення вихідної напруги ланцюжка дорівнюєU₂(s)=I(s)×(1/Cs), а зображення напруги на вході ланцюжка дорівнює U₁(s)=I(s)×[R+(1/(Cs)], де I(s) – зображення струму в елементах R і C.

 

Рис.3.2.Пасивна RC-схема

 

Взявши відношення U₂(s) до U₁(s), після простих перетворень одержимо передатну функції розглянутої схеми в такому вигляді

,                                                          (1)

де T=R×C – постійна часу ланки. Ланка з такою передатною функцією одержала назву аперіодичної або інерційної.

Якщо ланка задана у вигляді активної схеми, як, наприклад, на рис. 3.3, то, як відомо з курсу електроніки, її передатна функція W(s) дорівнює відношенню зображення опору зворотного зв'язку Z₂(s)=1/(C×s) до зображення опору вхідної вітки Z₁(s)=R.

 

Рис.3.3. Активна RC-схема

 

У даному випадку одержимо

W(s)=1/(T×s+1),                                                         (2)

де T=RC – постійна часу. Ланка з передатною функцією у вигляді (3.5) відома як ідеальний інтегратор.

 

 

3.4. Часові характеристики ланки

 

Передатну функцію W(s) використовують для визначення зображення  вихідного процесу через відоме зображення  вхідного процесу:

                                                       (1)

Від зображення  вихідного процесу зворотним перетворенням Лапласа знаходять оригінал

                                      (2)

тобто вихідний процес. Цією методикою користуються для визначення, зокрема, часових характеристик ланки: імпульсної (вагової) характеристики p(t) і перехідної характеристики h(t).

Імпульсною характеристикою ланки p(t) називають реакцію (відгук) ланки на дельта-функцію на її вході. Оскільки зображенням дельта-функції d(t) є одиниця, то з (2) отримуємо

P(s)=W(s),                                                        (3)

тобто, передатна функція ланки є одночасно зображенням її імпульсної характеристики. Саму ж імпульсну характеристику одержуємо з (3) зворотним перетворенням Лапласа:

                                                    (4)

Перехідною характеристикою ланки h(t) називають реакцію ланки на одиничну ступеневу функцію на її вході. Оскільки зображенням одиничної ступеневої функції 1(t), t ≥ 0 є 1/s, то з (2) отримуємо

H(s)=W(s)/s,                                                     (5)

тобто, зображенням перехідної характеристики ланки є її передатна функція, поділена на змінну s. Перехідну характеристику одержуємо з (5) зворотним перетворенням Лапласа:

                                                    (6)

Оскільки з (2) і (5) виходить, що

P(s) = H(s)×s,       H(s)=P(s)/s,                                      (7)

то з урахуванням властивостей перетворення Лапласа одержуємо додатково такі залежності між імпульсною і перехідною характеристиками:

,                                                  (8)

.                                                (9)

Таким чином, з відомої перехідної характеристики імпульсну характеристику можна знайти операцією диференціювання, а перехідну характеристику з відомої імпульсної характеристики можна знайти інтегруванням.

Для прикладу розглянемо частотні характеристики ланки з вище одержаною передатною функцією W(s)=1/(T×s+1). Зображення імпульсної характеристики цієї ланки

P(s)=W(s)=1/(T×s+1).                                                          (10)

Зворотне перетворення Лапласа від P(s), одержане за допомогою теореми розкладання або безпосередньо з таблиці перетворення Лапласа дає імпульсну функцію у такому вигляді:

.                                              (11)

Перехідну характеристику тепер легко знаходимо інтегруванням імпульсної характеристики p(t) за формулою (9):

.                                                   (12)

Графіки одержаних часових характеристик приведені на рис. 3.4.

 

Рис.3.4. Часові характеристики ланки з ПФ 1/(T×s+1)

 

 

Задачі

 

1. Визначте передатну функцію W(s) ланки з її диференціального рівняння

(Т₁p+1)×y(t) = k₁×x(t), де p=d/dt.

2. Знайдіть диференціальне рівняння ланки з її передатної функції

3. Визначте передатну функцію W(s) ланки з її диференціального рівняння

Приведіть W(s) до виду

,

виразивши Т і x через Т₂ і Т₁.

4. Знайдіть передатні функції ланок, заданих електричними схемами, показаними рис. 3.5.

5. Методом теореми розкладання знайдіть перехідну характеристику h(t) ланки з передатною функцією  Визначте імпульсну характеристику p(t) через h(t).

6. Знайдіть перехідну характеристику h(t) ланки з передатною функцією

.

Визначте імпульсну характеристику p(t) через h(t).

 

Рис.3.5. Ланки, задані електричними схемами