21. Основи z-перетворення і умова стійкості цифрової системи

Перелік питань: пряме і зворотне z-перетворення, основні властивості z-перетворення, порівняння перетворень Лапласа із z- перетворенням і умова стійкості цифрової системи.

21.1. Пряме і зворотне z- перетворення

Дискретний сигнал x(nT) по суті є числовою послідовністю {x(0), x(T), x(2T), …}. Дискретним z-перетворенням конечної або безкінечної числової послідовності x(nT) називають суму X(z) функціонального степеневого ряду комплексної змінної , коефіцієнтами якого є числа послідовності x(nT), тобто

.                                     (1)

Дискретним z-перетворенням неперервного сигналу x(t) називають z-перетворення послідовності відліків цього сигналу, тобто

.                                           (2)

Ряд

x(0), x(T)z ^-1, x(2T)z ^-2, …,                                      (3)

сума якого X(z) є z-перетворенням послідовності x(nT) або, інакше, її z-зображенням, називають рядом Лорана.

Для прикладу знайдемо z-перетворення одиничної ступеневої функції. Це неважко зробити , якщо розглядати суму ряду Лорана для послідовності одиниць як суму геометричної прогресії, знаменник якої дорівнює z^-1. З цих міркувань виходить, що

.                                               (4)

Для послідовності x(nT)= {1,1,1,0,0,0,…} z- перетворення знайдемо як суму трьох складових ряду Лорана у вигляді

Z{x(n)}=Z{1, 1, 1, 0, 0, …}= 1+(1/z¹)+(1/z²)=(z²+z+1)/z².                (5)

З теорії функції комплексної змінної відомо, що X(z) збігається в кільці комплексної площини Z з радіусом збіжності |z| > R, якщо x(nT)<MּRⁿ при довільних значеннях n, де M і R –додатні константи. В області збіжності X(z) є аналітичною функцією, тобто такою, яка не має в цій області полюсів. Геометрична інтерпретація цього факту дана на рис.21.1, де область аналітичності не заштрихована.

Зворотне Z- перетворення визначається інтегралом

,                                          (6)

де інтеграл береться по замкненому контуру в області аналітичності. Для інтегрування за формулою (6) корисно знати наслідок з теореми Коші теорії функції комплексної змінної, суть якого в тому, що дорівнює 2πj при , а при всіх інших значеннях n цей інтеграл дорівнює нулю.

 

Рис. 21.1. Область полюсів функції X(z)

 

В багатьох випадках для визначення оригіналу x(nT)  з його зображення X(z) замість інтегрування за формулою (6) вигідніше діленням чисельника зображення на його знаменник представити аналітичну функцію X(z) рядом Лорана, коефіцієнти якого при степенях z^-n і є елементами x(n) шуканої послідовності. Наприклад:

,

звідки x(n)={1, 1, 1, 0, 0, 0, …}.

Як і для перетворення Лапласа для z-перетворення складені таблиці. Корисно пам’ятати деякі з перетворень, наприклад,

,  ,  ,  .       (8)

Для ефективного користування таблицями z- перетворення потрібно складний вираз z- зображення розкласти на прості дроби.

Слід знати, що крім звичайного z-перетворення для послідовностей, зсунутих в сторону запізнення на eT (e<1) відносно основної послідовності, існує модифіковане z- перетворення, для якого теж створені таблиці. У виразах для модифікованого z- перетворення присутній параметр e.