Контрольні питання

1.            Призначення АСКЗТ.

2.        З яких частин складається ієрархічна система АСКЗТ.

3.        Приведіть приклади застосування САК на залізничному транспорті.

4.        Хто винайшов поплавковий регулятор рівня води?

5.        Хто винайшов регулятор швидкості обертання валу?

6.        Кого вважають засновником теорії автоматичного керування?

7.        Назвіть фундаментальні принципи керування.

8.        Назвіть пристрої, з яких складається САР.

9.        Приведіть приклади систем стабілізації керованої величини.

10.   У чому відміна системи програмного керування від слідкуючої?

11.   У якій галузі широко застосовують системи програмного керування?

12.   До якого класу систем слід віднести систему з нелінійним регулятором?

13.   До якого класу слід віднести систему із змінними в часі параметрами?

14.   На які класи поділяють системи за структурою їх регуляторів?

15.   В чому відміна П І-регулятора від П І Д-регулятора?

2. Диференціальне рівняння ланки автоматичної системи і перетворення Лапласа

Перелік питань: диференціальне рівняння ланки, і особливості розв'язку диференціального рівняння ланки, стандартна форма диференціального рівняння ланки, перетворення Лапласа і його властивості.

2.1. Диференціальне рівняння ланки

В теорії автоматичного керування ланкою називають математичну модель, яка описує зв’язок між вхідним x(t) і вихідним y(t) процесами будь-якого елемента, сукупності елементів або всієї автоматичної системи. Ланку задають диференціальним рівнянням або передатною функцією відповідного елемента, як, наприклад, на рис.2.1.

 

 

Рис. 2.1. Ланка, задана передатною функцією

 

Ланку можна задати також її часовими або частотними характеристиками. В окремих випадках ланку задають у вигляді електричної схеми, диференціальне рівняння якої подібне до диференціального рівняння пристрою автоматичної системи. Іноді словом „ланка” називають сам фізичний пристрій системи.

В загальному випадку диференціальне рівняння ланки має такий вид:

       (1)

де a_i  і b_j  (і = 0, 1, 2, …, n;  j = 0, 1, 2, …, m) – коефіцієнти рівняння.

В компактній символічній формі, яку одержують заміною звичайного символу диференціювання d/dt символом p, диференціальне рівняння має вигляд:

,                       (2)

Рівняння вважається заданим, якщо додатково задані початкові умови, тобто значення величин:  при . Диференціальне рівняння ланки автоматичної системи прийнято розв’язувати при нульових початкових умовах і це проявляється в деяких особливостях його розв'язку, розглянутих нижче.

 

2.2. Особливості розв’язку диференціального рівняння ланки

Розв’язком диференціального рівняння ланки

                     (1)

є функція , яка в загальному випадку має вільну (власну)  і вимушену  складові, тобто

.                                                       (2)

Відмінна від нуля вільна складова  присутня в розв’язку рівняння тільки при не нульових початкових умовах, тобто вона присутня в системі, яка має власний запас енергії, а при нульових початкових умовах вона відсутня. Дійсно, вільна складова, як відомо з [12], визначається з однорідного рівняння, яким є рівняння (1) з нульовою правою частиною. Воно має такий вигляд:

.                                             (3)

Відомо, що розв`язком рівняння (3) є експонента при умові, що показник експоненти  є коренем характеристичного рівняння

.                                             (4)

В цьому неважко впевнитись, підставивши в (3)  замість . В результаті підстановки матимемо:

.                                    (5)

Оскільки характеристичне рівняння (4) має n коренів , i=1, 2, …, n, то загальний розв’язок однорідного рівняння визначають лінійною комбінацією nекспонент, тобто

,                            (6)

де , і = 1, 2, …, n – постійні інтегрування, які визначаються з початкових умов для . Оскільки початкові умови для  і її похідних нульові, що характерно для типових задач теорії автоматичного керування, то загальний розв`язок однорідного рівняння теж буде нульовим, тобто вільна складова буде відсутня.

Вимушена складова  визначається вхідною дією  і в свою чергу має дві компоненти: перехідну  і усталену , тобто

.                                                      (7)

Перехідну компоненту теж можна представити сумою n експонент

                                      (8)

в якій коефіцієнти D_i (і = 1, 2, …, n) знаходять з початкових умов для , тобто з урахуванням вхідної дії x(t), яка відмінна від нуля. У багатьох випадках це типова вхідна дія у вигляді одиничної ступеневої функції 1(t) або у вигляді гармонічної функції sin(ωt). Усталену складову  шукають у вигляді функції, подібної до тої, яка описує дію на вході.

Зазначимо, що перехідна складова процесу  буде погасаючою, тобто асимптотично наближатись до нуля при , якщо усі дійсні корені і дійсні частини комплексних коренів характеристичного рівняння будуть від’ємними. При цьому парі  комплексно-спряжених коренів характеристичного рівняння відповідає експоненціально-коливальна компонента  перехідної складової вихідного процесу .