ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

Бинарные отношения

1. Цель работы

Познакомиться с понятиями бинарных отношений, изучить способы их представления и свойства, научиться выполнять операции над отношениями.

2. Теоретические сведения

Отношение используется как термин для обозначения связи между предметами или понятиями ( , ). Несмотря на свое широкое применение, понятие «отношение » имеет строгое математическое определение.

Основные определения

Пусть и — произвольные множества. Неупорядоченная пара на множествах и — это любое множество , где или . Упорядоченная пара на множествах и , обозначаемая записью , определяется не только самими элементами , но и порядком, в котором они записаны.

Простейший и важнейший пример использования упорядоченных пар дает аналитическая геометрия. Если на плоскости введена некоторая прямоугольная система координат, то каждая точка плоскости однозначно задается упорядоченной парой действительных чисел — координатами этой точки. Ни у кого не возникает сомнений в том, что порядок, в котором перечисляются координаты точки, является существенным: точка, заданная координатами , совсем не то же самое, что и точка с координатами .

Множество всех упорядоченных пар на множествах и называют декартовым (прямым) произведением множеств и и обозначают . Таким образом, .

Если множества равны между собой, то указанное декартово произведение называют второй степенью множества (или квадратом множества )и обозначают .

Бинарное отношение определяют как подмножество в декартовом произведении Х × Y, задаваемое определяющим свойством отношения . Если такое отношение, что , то говорят, что есть отношение из в . Если , то говорят, что есть отношение на множестве .

Представление отношений

Бинарные отношения можно представлять различными способами: перечислением пар, ориентированным графом (графом соответствия), графиком на координатной плоскости, функцией, матрицей отношения (смежности).

Пример 1. Пусть . Отношение между множествами и может быть записано в явном виде:

Пример 2. Пусть . Тогда может быть записано в явном виде:

Для наглядного изображения соответствий из и (бинарных отношений, в частности) будем использовать два способа. Первый из этих способов состоит в интерпретации соответствия как подмножества декартова произведения, которое можно изображать примерно так же, как на плоскости можно изображать подмножества декартова квадрата числовых множеств. Второй способ, применяемый для конечных множеств и , — построение так называемого графа соответствия. В этом случае элементы множеств и изображаются на плоскости кружочками. Если и только если пара принадлежит соответствию , то в графе соответствия из кружочка, обозначающего элемент , проводим стрелку к кружочку, обозначающему элемент . Для бинарного отношения на конечном множестве часто удобнее использовать граф другого вида. Элементы множества А изображаются кружочками только один раз, а стрелки проводятся по тем же правилам, что и в графе соответствия. Заметим, что при таком построении возможно соединение кружочка стрелкой с самим собой (петля).

a b c
График (пример1)		Граф (пример1)
график (пример2)	граф (пример2)		граф (пример2)
Рис. 1

Пусть есть отношение на , . Перенумеруем элементы множества , . Тогда отношение можно представить булевой матрицей где . Понятие «булева матрица» подразумевает, что элементы матрицы – булевские значения и операции над ними выполняются по соответствующим правилам. Матрицы отношений, рассмотренных в примерах будут выглядеть:

Пример1	Пример2

Свойства бинарных отношений

Отношение называется:

• рефлексивным, если ; антирефлексивным, если ;

• симметричным, если ; антисимметричным, если и ; асимметричным, если ;

• транзитивным, если ;

• линейным, если .

Из множества всех отношений выделяется класс отношений, одновременно симметричных, транзитивных и рефлексивных. Такие отношения называются отношениями эквивалентности.

К отношениям порядка относятся:

а) отношение квазипорядка, обладающее свойствами рефлексивности, транзитивности;

б) отношение частичного порядка на множестве Х (часто обозначаемое или ), обладающее свойствами рефлексивности, антисимметричности, транзитивности;

в) отношение строгого порядка на множестве Х (часто обозначаемое или ), обладающее свойствами антирефлексивности, асимметричности, транзитивности;

г) отношение линейного (полного) порядка, обладающее наряду со свойствами отношения частичного порядка свойством линейности.

Функция и отображение

Пусть – отношение из в такое, что и (символ ∀ означает “любой”). Такое свойство отношения называется функциональностью, или однозначностью. Само отношение называется отображением из в , или функцией, и обозначается или , где – аргумент, – значение функции.

Отображение называют инъективным (инъекцией), если каждый элемент из области его значений имеет единственный прообраз, т.е. из следует . Инъективное отображение из в называют также отображением множества в множество .

Отображение называют сюръективным (сюръекцией), если его область значений совпадает со всем множеством . Сюръективное отображение из в называют также отображением множества на множество .

Отображение называют биективным (биекцией), если оно одновременно инъективно и сюръективно.

Таким образом, если отображение биективно, то каждому элементу множества отвечает единственный элемент множества и наоборот. В таком случае говорят, что множества и находятся между собой во взаимно однозначном соответствии. Биекцию множества на себя называют автоморфизмом множества . Используют также термин “подстановка множества”.

Операции над отношениями

Поскольку отношения можно считать множествами, то все операции над множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение и т.д.) можно применить и к отношениям. Заметим, что, говоря о дополнении отношения из в , мы имеем в виду дополнение до универсального отношения из в , т.е. до декартова произведения . Естественно, что и равенство отношений можно трактовать как равенство множеств. В то же время на отношения можно распространить операции, определяемые для отображений. Рассмотрим такие операции.

Композицией (произведением) отношений называют отношение .

Поясним построение композиции двух соответствий. Обратимся сначала к отображениям (как частным случаям отношений). Пусть заданы отображения: из в и из в . Композиция определяется как отображение из в , задаваемое формулой . Тем самым задается график отображения , т.е. множество упорядоченных пар , таких, что . При этом упорядоченная пара будет принадлежать графику отображения , если и только если найдется элемент , такой, что и .

Вернемся к рассмотрению композиции отношений . Полагая, что область определения отношения не пуста, возьмем произвольный элемент . Пусть сечение отношения не пусто и найдется такой элемент , что сечение также не пусто. Тогда непустое множество будет подмножеством сечения отношения в точке . Сечением отношения в точке будет непустое в силу сделанных предположений множество всех таких упорядоченных пар , что , a для некоторого . Говоря неформально, нужно перебрать все элементы из сечения . Таким образом, различие в построении композиции отношений и композиции отображений заключается в том, что „промежуточный" элемент в общем случае не единственный и каждому такому элементу также ставится в соответствие не единственный элемент .

Пример 3. Зададим на множестве бинарные отношения , и и найдем композицию .

Имеем . Следовательно, . Далее . Так как , то в итоге получим . Построение композиции проиллюстрировано на рис. 2a.

a)		b)
Рис. 2

Подобным образом можно построить композицию отношений , что отображено на рис. 2b. Легко видеть, что .

Пусть — бинарное отношение. Определим обратное отношение следующим образом: .

Таким образом, связывает те же пары элементов, что и , но «в другом порядке».