Порядок выполнения работы
Задать множество , мощности не менее 10 элементов. Множество не должно содержать повторяющиеся элементы и должно быть упорядочено по возрастанию. На данном множестве определить отношение и описать его всеми известными способами (характеристическим свойством, перечислением пар, матрицей отношения, графом или графиком).
Дать полную характеристику отношения на данном множестве .
Написать
программу для построения матриц отношений
и композиций отношений:
,
,
,
,
;
и определения свойств заданного отношения
на данном множестве
.
Интерфейсная часть программы должна включать:
заголовок с указанием названия работы и информации об авторе;
поле ввода для множества или кнопки для его создания случайным образом;
поля вывода отношений (матриц, упорядоченных пар);
управляющие кнопки для выбора отношений или композиций отношений, которые необходимо найти;
управляющую кнопку для определения свойств заданного отношения на данном множестве .
Содержание отчета
Отчет должен соответствовать требованиям оформления документов такого типа и содержать следующие пункты:
Титульный лист с указанием темы лабораторной работы и номера варианта.
Постановку задачи.
Алгоритм решения задачи с описанием используемых методов;
Описание программы:
структура входных данных;
структура выходных данных;
алгоритм программы.
Листинг текста программы.
Тестовые примеры.
Выводы.
Примечание: если в задании не указан метод решения задачи или структура входных данных, то выбор метода и структуры данных должен быть сделан самостоятельно студентом, обоснование выбора должно быть отражено в отчете.
Контрольные вопросы
Построить бинарное отношение, которое является:
а) рефлексивным, симметричным, но нетранзитивным;
б) рефлексивным, антисимметричным, но нетранзитивным;
в) рефлексивным, транзитивным, но несимметричным;
г) антисимметричным, транзитивным, но нерефлексивным.
Пусть и — конечные множества, содержащие
и
элементов. Сколько существует различных
соответствий из
в
?
Сколько можно задать функций из
в
,
а среди последних — инъекций? При каких
и
существуют биекции и сколько их?Построить графики и графы следующих бинарных отношений, заданных на множестве X = {1,2,3,4,5,6}:
а)
; в)
;
б)
г)
.
Определить, какими свойствами (рефлексивность, симметричность, транзитивность) обладают следующие бинарные отношения:
а)
на множестве
;
б)
,
такое, что
,
если
делится на
,
где
,
a
‒
фиксировано.
Доказать тождества:
а)
;
б)
.
Проиллюстрировать графически, приняв
в качестве множеств
отрезки числовой прямой.
Свойства отношений.
Отношение ρ называется рефлексивным, если для любого имеет место . Отношение ρ называетсяантирефлексивным, если ни для какого:, не выполняется . Отношение «иметь общий делитель» рефлексивно, отношения < и «быть сыном» антирефлексивны. Отношение «быть симметричным относительно оси х» не является ни рефлексивным, ни антирефлексивным: точка плоекости симметрична сама себе, если она лежит на оси х, и несимметрична сама себе в противном случае.
Отношение ρ называется симметричным, если для пары из следует Отношение ρ называетсяантисимметричным, если из ; и следует, что ;. Отношение «быть симметричным относительно оси х» является симметричным: если первая точка симметрична второй, то и вторая симметрична первой.
Отношение ρ называется транзитивным, если для любых а, b, с из и следует . Отношения «равенство», «жить в одном городе» транзитивны. Отношение «быть сыном» нетранзитивно.
Транзитивным замыканием отношения «быть сыном» яется отношение «быть прямым потомком». Транзитивным замыканием отношения «иметь общую стену» для жильцов дома является ошение «жить на одном этаже».