6. Питання і вправи

1. Задачник [1], задачі 2.1 - 2.16.

2. Дана вибірка Х₁,..., Х_n , X_i  В_p, р  (0,1) невідомий параметр. Перевірити, що Х₁, Х₁Х₂, X₁(1 - Х₂) є незміщеними оцінками відповідно для р, р², р(1 - р). Чи Є ці оцінки спроможними?

3. Дана вибірка Х₁,..., Х_n, X_i  П_,  > 0 невідомий параметр. Перевірити, що X₁ і I(X₁ = k) є незміщеними оцінками відповідно для  і . Чи Є ці оцінки спроможними?

4. Дана вибірка Х₁,..., Х_n, X_i  U_0,,  > 0 - невідомий параметр. Перевірити спроможність і незміщеність оцінок: ₁^* = Х_(n), ₂^* = 2X, ₃^* = Х_(n) + Х₍₁₎.

5. Побудувати оцінки невідомих параметрів по методу моментів для наступних розподілів:

а) В_p по першому моменту,

б) П_ по першому і другому моменту,

в) U_a,b по першому і другому моменту,

г) Е_ по всіх моментах,

д) e_1/ по першому моменту,

е) U_-, як вийде,

ж) Г_, по першому і другому моменту,

з) N_,2 (для ² при  відомому і при  невідомому).

6. Які з оцінок в задачі 5 незміщені? спроможні?

7. Порівняти вигляд оцінок для параметра а, отриманих по першому моменту в задачах 5(г) і 5(д). Доказати, що серед них тільки одна незміщена. Вказівка. Використати властивість: якщо   0 п.н., то = const п.н.

8*. Довести властивість із задачі 7, використовуючи нерівність Коши-Буняковского-Шварца: , яке звертається в рівність  =с (див. доказ властивості коефіцієнта кореляції р 1 в курсі теорії імовірностей).

9. Побудувати оцінки невідомих параметрів по методу максимальної правдоподібності для наступних розподілів: а) Вр, би)П_n+1, в) U_{0,2 г}) Е2n_+3, д) U, е) N(а відомо).

10. Які з оцінок в задачі 9 незміщені? спроможні?

З Порівняння оцінок

3.1 Способи порівняння оцінок

Використовуючи метод моментів й метод максимальної правдоподібності, ми отримали для кожної параметра вже досить багато різних оцінок. Яким же чином їх порівнювати? Що повинне бьіть показником «відмінно» оцінки?

Зрозуміло, що чим далі оцінка відхиляється від параметра, тим вона гірше. Але величина \* \ для порівняння непридатна: во-первьіх, параметр  невідомий, по-друге, * випадкова величина, так що ці величини звичайно порівняти не можна. Як, наприклад, порівнювати \Х - \ і \Х^к ¦? Або, на одномузлементарном виході, ¦2.15 - \ і ¦3.1 - ¦?

Тому має смисл порівнювати не відхилення як такі, а середні значення тих відхилень,тобто Е₀¦* -\.

Але математичне очікування модуля с.у. вважати звичайно скрутне, тому більш зручною характеристикою для порівняння оцінок вважається Е_ (* - )² . Вона зручна ще й тим, що дуже чуйно реагує на малоймовірні, але великі по абсолютному значенню відхилення * від  (зводить їх в квадрат).

Помітимо ще, що Е_(* - )² є функція від , так що порівнювати ці «середньоквадратичні» відхилення треба як функції від в поточечно. Такий підхід порівнянню оцінок називається средньоквадратичним.

Зрозуміло, в залежності від потреб дослідника можна користуватися й іншими характеристиками.

Існує й так званий асимптотичний підхід до порівняння оцінок, при якому для порівняння оцінок використовується деяка характеристика «розкидання» оцінки відносно параметра при більших п.